1. Maximización corto plazo

Suponga que la función de producción está dada por *f* (*x*1*, x*2) = *x*1*/*3*x*2*/*3 donde *x*1 son trabajadores y *x*2

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son máquinas, *p* es el precio del producto y *wi* es el precio de los *i* factores.

Si el número de máquinas actualmente es 27, el precio del producto es 5, el costo por hora del trabajo es 1 dólares por hora y el costo de las máquinas es de 3 dólares por hora:

1.1  ¿Cual es la cantidad óptima de trabajadores a contratar?

1.2 ¿Cuál es la producción óptima? 2.3¿Cuál es el beneficio máximo?

Para resolver este problema de maximización a corto plazo, necesitamos encontrar la cantidad óptima de trabajadores a contratar para maximizar los beneficios de la empresa. Vamos a proceder paso a paso.

### Paso 1: Formular el Problema de Maximización

Dado que la función de producción es:

\[
f(x_1, x_2) = x_1^{1/3} \cdot x_2^{2/3}
\]

donde:
- \(x_1\) es la cantidad de trabajadores,
- \(x_2\) es la cantidad de máquinas,
- \(p\) es el precio del producto,
- \(w_1\) es el salario por hora de los trabajadores,
- \(w_2\) es el costo por hora de las máquinas.

Los datos proporcionados son:
- \(x_2 = 27\) (número fijo de máquinas),
- \(p = 5\) (precio del producto),
- \(w_1 = 1\) (salario por hora de los trabajadores),
- \(w_2 = 3\) (costo por hora de las máquinas).

La función de beneficio (\(\pi\)) está dada por:

\[
\pi = p \cdot f(x_1, x_2) - w_1 \cdot x_1 - w_2 \cdot x_2
\]

Sustituyendo los valores dados y la función de producción, tenemos:

\[
\pi = 5 \cdot (x_1^{1/3} \cdot 27^{2/3}) - 1 \cdot x_1 - 3 \cdot 27
\]

### Paso 2: Simplificar la Función de Beneficio

Calculemos \(27^{2/3}\):

\[
27^{2/3} = (3^3)^{2/3} = 3^2 = 9
\]

Entonces la función de beneficio se simplifica a:

\[
\pi = 5 \cdot (x_1^{1/3} \cdot 9) - x_1 - 81
\]

\[
\pi = 45x_1^{1/3} - x_1 - 81
\]

### Paso 3: Encontrar la Cantidad Óptima de Trabajadores (\(x_1\))

Para maximizar el beneficio, derivamos \(\pi\) con respecto a \(x_1\) y establecemos la derivada igual a cero:

\[
\frac{d\pi}{dx_1} = 45 \cdot \frac{1}{3} x_1^{-2/3} - 1 = 0
\]

Simplifiquemos la derivada:

\[
15x_1^{-2/3} = 1
\]

Resolviendo para \(x_1\):

\[
x_1^{-2/3} = \frac{1}{15}
\]

\[
x_1^{2/3} = 15
\]

Elevando ambos lados a la potencia de \(\frac{3}{2}\):

\[
x_1 = 15^{3/2}
\]

Calculemos \(x_1\):

\[
x_1 = \sqrt{15^3} = \sqrt{3375} \approx 58.09
\]

Entonces, la cantidad óptima de trabajadores a contratar es **58** (redondeado al número entero más cercano).

### Paso 4: Calcular la Producción Óptima

La producción óptima se puede calcular sustituyendo \(x_1 = 58\) y \(x_2 = 27\) en la función de producción:

\[
f(x_1, x_2) = 58^{1/3} \cdot 27^{2/3}
\]

Sabemos que \(27^{2/3} = 9\), así que:

\[
f(58, 27) = 58^{1/3} \cdot 9
\]

Calculando \(58^{1/3}\):

\[
58^{1/3} \approx 3.88
\]

Entonces:

\[
f(58, 27) \approx 3.88 \cdot 9 \approx 34.92
\]

La producción óptima es **34.92 unidades**.

### Paso 5: Calcular el Beneficio Máximo

Ahora, calculemos el beneficio máximo utilizando \(x_1 = 58\) y la producción óptima:

\[
\pi = 45 \cdot 58^{1/3} - 58 - 81
\]

Ya calculamos \(58^{1/3} \approx 3.88\):

\[
\pi = 45 \cdot 3.88 - 58 - 81
\]

\[
\pi = 174.6 - 58 - 81 = 35.6
\]

El beneficio máximo es **35.6 dólares**.

### Resumen de Respuestas

1.1. **Cantidad óptima de trabajadores a contratar**: 58
1.2. **Producción óptima**: 34.92 unidades
1.3. **Beneficio máximo**: 35.6 dólares

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

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**Preguntas relacionadas:**

1. ¿Cómo cambiarían las respuestas si el costo de las máquinas cambiara?
2. ¿Qué sucede si el precio del producto aumenta a 10 dólares?
3. ¿Cómo afectaría una reducción en el salario por hora de los trabajadores?
4. ¿Cómo podemos incorporar el costo de mantenimiento de las máquinas en el modelo?
5. ¿Qué implicaciones tiene asumir un número fijo de máquinas en la optimización?

**Consejo**: Al enfrentar problemas de optimización, siempre es útil verificar las condiciones de segundo orden para asegurarse de que se ha encontrado un máximo (o mínimo) y no un punto de silla.

Explore a maximization problem involving optimal hiring of workers and production levels using a given production function. Learn how to calculate optimal workers, production output, and maximum profit with step-by-step guidance and formula application.

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