Math Problem Statement
mn_pr08.pdf
325.52 KB
wygeneruj program w pythonie do zdania 8.3
Solution
Zadanie 8.3 dotyczy obliczenia wartości całki oznaczonej za pomocą wzoru Simpsona oraz metody prostokątów, a także porównania wyników z wartością dokładną wyznaczoną analitycznie.
Opis rozwiązania
- Obliczenie analityczne: Wymaga wyznaczenia funkcji pierwotnej dla funkcji podcałkowej , co da wartość .
- Metoda Simpsona: Zastosowanie tej metody dla przybliżenia całki numerycznie.
- Metoda prostokątów: Alternatywna metoda numeryczna.
- Porównanie wyników: Sprawdzenie, czy błąd jest mniejszy od .
Program w Pythonie
pythonimport numpy as np # Funkcja podcałkowa f(x) def f(x): return (2 / (1 + x**2)) + (2 / x) # Analityczna funkcja pierwotna F(x) def F(x): return 2 * np.arctan(x) + 2 * np.log(abs(x)) # Metoda Simpsona def simpson_integration(f, a, b, n): h = (b - a) / n integral = f(a) + f(b) for i in range(1, n, 2): integral += 4 * f(a + i * h) for i in range(2, n-1, 2): integral += 2 * f(a + i * h) return integral * h / 3 # Metoda prostokątów def rectangle_integration(f, a, b, n): h = (b - a) / n integral = 0 for i in range(n): integral += f(a + i * h) return integral * h # Ustawienia a = 1 # Dolna granica całkowania b = 5 # Górna granica całkowania eps = 1e-4 # Dokładność n = 100 # Ilość przedziałów # Obliczenia simpson_result = simpson_integration(f, a, b, n) rectangle_result = rectangle_integration(f, a, b, n) exact_result = F(b) - F(a) # Wyniki print(f"Wynik z metody Simpsona: {simpson_result}") print(f"Wynik z metody prostokątów: {rectangle_result}") print(f"Wynik dokładny: {exact_result}") print(f"Błąd Simpsona: {abs(simpson_result - exact_result)}") print(f"Błąd prostokątów: {abs(rectangle_result - exact_result)}")
Wyjaśnienia:
- Funkcja podcałkowa: Jest zdefiniowana jako suma dwóch wyrażeń oraz .
- Funkcja pierwotna: Została wyznaczona analitycznie i wykorzystana do porównania z wynikami numerycznymi.
- Metoda Simpsona: Oblicza przybliżenie całki, dzieląc obszar na parzystą liczbę segmentów i stosując wzór Simpsona.
- Metoda prostokątów: Oblicza przybliżenie przez sumowanie wartości funkcji w punktach przedziałów prostokątów.
Czy masz jakieś pytania, albo chciałbyś szczegóły dotyczące implementacji?
Rozwinięcie:
- Jakie są zalety i wady metody Simpsona w porównaniu do innych metod numerycznych?
- Dlaczego ważne jest wyznaczenie funkcji pierwotnej w obliczeniach analitycznych?
- Jakie inne metody numeryczne mogłyby być użyte do obliczeń całek?
- W jaki sposób błąd numeryczny wpływa na dokładność metod numerycznych?
- Jak modyfikować krok integracji, aby zwiększyć dokładność obliczeń?
Tip:
Zwiększając liczbę podziałów w metodach numerycznych, możesz poprawić dokładność obliczeń, ale kosztem większej ilości obliczeń.
Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Numerical Integration
Simpson's Rule
Rectangle Method
Formulas
Simpson's Rule: S = (b - a) / 3n * [f(a) + 4f(x1) + 2f(x2) + ... + f(b)]
Rectangle Method: R = (b - a) / n * sum(f(xi))
Theorems
Simpson's Rule
Rectangle Method
Suitable Grade Level
Undergraduate
Related Recommendation
Numerical Integration: Trapezoidal Rule vs. Gauss Quadrature for e^x
Solve Integral Using Simpson's 1/3 Rule with Python and Calculate Truncation Error
Numerical Approximation of Integrals Using Trapezoidal and Simpson's Rules with Error Bounds
Numerical Integration of e^7x: Trapezoid and Simpson's Rule Error Analysis
Approximating Definite Integrals Using Trapezoidal and Simpson’s Rule with Error Bound Calculation