Math Problem Statement

mn_pr08.pdf

325.52 KB

wygeneruj program w pythonie do zdania 8.3

Solution

Zadanie 8.3 dotyczy obliczenia wartości całki oznaczonej za pomocą wzoru Simpsona oraz metody prostokątów, a także porównania wyników z wartością dokładną wyznaczoną analitycznie.

Opis rozwiązania

  1. Obliczenie analityczne: Wymaga wyznaczenia funkcji pierwotnej F(x)F(x) dla funkcji podcałkowej f(x)=21+x2+2xf(x) = \frac{2}{1+x^2} + \frac{2}{x}, co da wartość W=F(5)F(1)W = F(5) - F(1).
  2. Metoda Simpsona: Zastosowanie tej metody dla przybliżenia całki numerycznie.
  3. Metoda prostokątów: Alternatywna metoda numeryczna.
  4. Porównanie wyników: Sprawdzenie, czy błąd jest mniejszy od ε=104\varepsilon = 10^{-4}.

Program w Pythonie

python
import numpy as np # Funkcja podcałkowa f(x) def f(x): return (2 / (1 + x**2)) + (2 / x) # Analityczna funkcja pierwotna F(x) def F(x): return 2 * np.arctan(x) + 2 * np.log(abs(x)) # Metoda Simpsona def simpson_integration(f, a, b, n): h = (b - a) / n integral = f(a) + f(b) for i in range(1, n, 2): integral += 4 * f(a + i * h) for i in range(2, n-1, 2): integral += 2 * f(a + i * h) return integral * h / 3 # Metoda prostokątów def rectangle_integration(f, a, b, n): h = (b - a) / n integral = 0 for i in range(n): integral += f(a + i * h) return integral * h # Ustawienia a = 1 # Dolna granica całkowania b = 5 # Górna granica całkowania eps = 1e-4 # Dokładność n = 100 # Ilość przedziałów # Obliczenia simpson_result = simpson_integration(f, a, b, n) rectangle_result = rectangle_integration(f, a, b, n) exact_result = F(b) - F(a) # Wyniki print(f"Wynik z metody Simpsona: {simpson_result}") print(f"Wynik z metody prostokątów: {rectangle_result}") print(f"Wynik dokładny: {exact_result}") print(f"Błąd Simpsona: {abs(simpson_result - exact_result)}") print(f"Błąd prostokątów: {abs(rectangle_result - exact_result)}")

Wyjaśnienia:

  • Funkcja podcałkowa: Jest zdefiniowana jako suma dwóch wyrażeń 21+x2\frac{2}{1+x^2} oraz 2x\frac{2}{x}.
  • Funkcja pierwotna: Została wyznaczona analitycznie i wykorzystana do porównania z wynikami numerycznymi.
  • Metoda Simpsona: Oblicza przybliżenie całki, dzieląc obszar na parzystą liczbę segmentów i stosując wzór Simpsona.
  • Metoda prostokątów: Oblicza przybliżenie przez sumowanie wartości funkcji w punktach przedziałów prostokątów.

Czy masz jakieś pytania, albo chciałbyś szczegóły dotyczące implementacji?

Rozwinięcie:

  1. Jakie są zalety i wady metody Simpsona w porównaniu do innych metod numerycznych?
  2. Dlaczego ważne jest wyznaczenie funkcji pierwotnej w obliczeniach analitycznych?
  3. Jakie inne metody numeryczne mogłyby być użyte do obliczeń całek?
  4. W jaki sposób błąd numeryczny wpływa na dokładność metod numerycznych?
  5. Jak modyfikować krok integracji, aby zwiększyć dokładność obliczeń?
Tip:

Zwiększając liczbę podziałów nn w metodach numerycznych, możesz poprawić dokładność obliczeń, ale kosztem większej ilości obliczeń.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Numerical Integration
Simpson's Rule
Rectangle Method

Formulas

Simpson's Rule: S = (b - a) / 3n * [f(a) + 4f(x1) + 2f(x2) + ... + f(b)]
Rectangle Method: R = (b - a) / n * sum(f(xi))

Theorems

Simpson's Rule
Rectangle Method

Suitable Grade Level

Undergraduate