Zadanie 8.3 dotyczy obliczenia wartości całki oznaczonej za pomocą wzoru Simpsona oraz metody prostokątów, a także porównania wyników z wartością dokładną wyznaczoną analitycznie.

Opis rozwiązania

1. Obliczenie analityczne: Wymaga wyznaczenia funkcji pierwotnej $F(x)$ dla funkcji podcałkowej $f(x) = \frac{2}{1+x^2} + \frac{2}{x}$, co da wartość $W = F(5) - F(1)$.
2. Metoda Simpsona: Zastosowanie tej metody dla przybliżenia całki numerycznie.
3. Metoda prostokątów: Alternatywna metoda numeryczna.
4. Porównanie wyników: Sprawdzenie, czy błąd jest mniejszy od $\varepsilon = 10^{-4}$.

Program w Pythonie

pythonCopy code
import numpy as np

# Funkcja podcałkowa f(x)
def f(x):
    return (2 / (1 + x**2)) + (2 / x)

# Analityczna funkcja pierwotna F(x)
def F(x):
    return 2 * np.arctan(x) + 2 * np.log(abs(x))

# Metoda Simpsona
def simpson_integration(f, a, b, n):
    h = (b - a) / n
    integral = f(a) + f(b)
    for i in range(1, n, 2):
        integral += 4 * f(a + i * h)
    for i in range(2, n-1, 2):
        integral += 2 * f(a + i * h)
    return integral * h / 3

# Metoda prostokątów
def rectangle_integration(f, a, b, n):
    h = (b - a) / n
    integral = 0
    for i in range(n):
        integral += f(a + i * h)
    return integral * h

# Ustawienia
a = 1  # Dolna granica całkowania
b = 5  # Górna granica całkowania
eps = 1e-4  # Dokładność
n = 100  # Ilość przedziałów

# Obliczenia
simpson_result = simpson_integration(f, a, b, n)
rectangle_result = rectangle_integration(f, a, b, n)
exact_result = F(b) - F(a)

# Wyniki
print(f"Wynik z metody Simpsona: {simpson_result}")
print(f"Wynik z metody prostokątów: {rectangle_result}")
print(f"Wynik dokładny: {exact_result}")
print(f"Błąd Simpsona: {abs(simpson_result - exact_result)}")
print(f"Błąd prostokątów: {abs(rectangle_result - exact_result)}")

Wyjaśnienia:

• Funkcja podcałkowa: Jest zdefiniowana jako suma dwóch wyrażeń $\frac{2}{1+x^2}$ oraz $\frac{2}{x}$.
• Funkcja pierwotna: Została wyznaczona analitycznie i wykorzystana do porównania z wynikami numerycznymi.
• Metoda Simpsona: Oblicza przybliżenie całki, dzieląc obszar na parzystą liczbę segmentów i stosując wzór Simpsona.
• Metoda prostokątów: Oblicza przybliżenie przez sumowanie wartości funkcji w punktach przedziałów prostokątów.

Czy masz jakieś pytania, albo chciałbyś szczegóły dotyczące implementacji?

Rozwinięcie:

1. Jakie są zalety i wady metody Simpsona w porównaniu do innych metod numerycznych?
2. Dlaczego ważne jest wyznaczenie funkcji pierwotnej w obliczeniach analitycznych?
3. Jakie inne metody numeryczne mogłyby być użyte do obliczeń całek?
4. W jaki sposób błąd numeryczny wpływa na dokładność metod numerycznych?
5. Jak modyfikować krok integracji, aby zwiększyć dokładność obliczeń?

Tip:

Zwiększając liczbę podziałów $n$ w metodach numerycznych, możesz poprawić dokładność obliczeń, ale kosztem większej ilości obliczeń.