Tehtävässä käsitellään äärellistä joukkoa $A$, jonka osajoukko $B$ on myös $A$:n osajoukko. Lisäksi $PB(A)$ määritellään osajoukoksi $A$:n osajoukkojen voimakuvauksesta siten, että $PB(A) = \{ A' \in P(A) \mid A' \supseteq B \}$, eli joukko sisältää kaikki ne osajoukot $A'$, jotka sisältävät osajoukon $B$.

Analyysi ja ratkaisu:

1. Joukkojen määritelmät:

   • $A$ on äärellinen joukko, joten sen osajoukkojen joukko $P(A)$ on äärellinen. $P(A)$ sisältää kaikki $A$:n osajoukot, ja $|P(A)| = 2^{|A|}$, missä $|A|$ on $A$:n alkioiden määrä.
   • $B \subseteq A$ eli $B$ on osajoukko joukosta $A$.
   • $PB(A)$ on joukko, joka sisältää kaikki osajoukot $A' \in P(A)$, jotka sisältävät $B$, eli $A' \supseteq B$.

2. Pohdinta:

   • $A' \supseteq B$ tarkoittaa, että $A'$ on $A$:n osajoukko, joka sisältää kaikki $B$:n alkiot ja mahdollisesti myös muita $A$:n alkioita.
   • Osajoukkojen $A'$ lukumäärä, jotka sisältävät $B$, voidaan laskea seuraavasti: Jos $B$ sisältää $k$ alkiota, niin $A \setminus B$ sisältää $|A| - k$ alkiota, ja jokaiselle näistä alkioista voidaan valita, kuuluuko se $A'$:hen vai ei. Eli osajoukkojen $A'$ määrä, jotka sisältävät $B$, on $2^{|A| - k}$, koska nämä $|A| - k$ alkiot voivat olla mukana tai poissa osajoukosta $A'$.

3. Lopullinen vastaus: Jos $|A| = n$ ja $|B| = k$, niin joukossa $PB(A)$ on $2^{n - k}$ alkiota.

Esimerkki:

• Jos $A = \{1, 2, 3\}$ ja $B = \{1\}$, niin $|A| = 3$ ja $|B| = 1$. Tällöin $PB(A)$ sisältää kaikki osajoukot, jotka sisältävät alkion 1. Näitä osajoukkoja on $2^{3 - 1} = 2^2 = 4$ kappaletta, eli joukossa $PB(A)$ on 4 alkiota.

Jos haluat lisätietoja tai tarkempia esimerkkejä, kysy rohkeasti!

Aiheeseen liittyviä kysymyksiä:

1. Miten lasketaan osajoukkojen määrä äärelliselle joukolle?
2. Mitä tarkoittaa, että osajoukko $A' \supseteq B$?
3. Miten määritellään osajoukon voima- tai potenssijoukko?
4. Miten käy, jos $B$ on yhtä suuri kuin $A$?
5. Miten määritellään joukkojen yhdistäminen ja leikkaaminen?

Vinkki:

Kun lasket osajoukkojen määrää, muista, että jokaista alkuperäisen joukon alkiota voi joko sisällyttää tai jättää pois osajoukkoon, joten osajoukkojen määrä on $2^{\text{alkioiden määrä}}$.