Для случайной величины $X$, имеющей нормальное распределение $X \sim N(10, 2)$, задано математическое ожидание $\mu = 10$ и дисперсия $\sigma^2 = 2$.

1. Плотность вероятности $X$:

   Функция плотности нормального распределения для случайной величины $X$ имеет вид: $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2}}$

   Подставляя значения $\mu = 10$ и $\sigma^2 = 2$ (соответственно, стандартное отклонение $\sigma = \sqrt{2} \approx 1.414$): $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \cdot 2}} e^{-\frac{(x - 10)^2}{2 \cdot 2}} = \frac{1}{\sqrt{4 \pi}} e^{-\frac{(x - 10)^2}{4}}$

2. Вычисление вероятности попадания $X$ в интервал $(12, 14)$:

   Нам нужно найти $P(12 < X < 14)$. Поскольку $X$ нормально распределена, это можно вычислить с помощью функции стандартного нормального распределения. Сначала выразим границы интервала через стандартные отклонения:

   $Z_1 = \frac{12 - 10}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \approx 1.414$ $Z_2 = \frac{14 - 10}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \approx 2.828$

   Теперь найдем вероятность $P(12 < X < 14)$ через стандартное нормальное распределение $Z$: $P(12 < X < 14) = P(Z_1 < Z < Z_2) = P(Z < 2.828) - P(Z < 1.414)$

   Используя таблицы стандартного нормального распределения или калькулятор, получаем: $P(Z < 2.828) \approx 0.9977$ $P(Z < 1.414) \approx 0.9213$

   Тогда: $P(12 < X < 14) \approx 0.9977 - 0.9213 = 0.0764$

   Ответ: вероятность того, что случайная величина $X$ попадет в интервал $(12, 14)$, равна примерно $0.0764$.

Хотите узнать больше о вычислении вероятностей для нормального распределения?

Вот пять вопросов для дальнейшего изучения:

1. Как найти вероятность для произвольного интервала $(a, b)$ для случайной величины $X \sim N(\mu, \sigma^2)$?
2. Каковы свойства стандартного нормального распределения?
3. Какими методами можно вычислить интегралы для вероятностей нормального распределения?
4. Какова роль дисперсии и математического ожидания в нормальном распределении?
5. Чем отличается функция плотности вероятности от функции распределения вероятностей?

Совет: При вычислении вероятностей для нормального распределения удобно использовать стандартное нормальное распределение и таблицы вероятностей для упрощения.