Math Problem Statement

Найти ненулевой вектор перпендикулярный вектору (-18,-2,-1) и перпендикулярный вектору (-12,-1,-1).

Solution

Для того чтобы найти ненулевой вектор, перпендикулярный двум данным векторам (18,2,1)(-18, -2, -1) и (12,1,1)(-12, -1, -1), воспользуемся векторным произведением. Векторное произведение двух векторов a\mathbf{a} и b\mathbf{b} дает вектор, который перпендикулярен обоим исходным векторам.

Формула для векторного произведения:

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix},$$ где $$\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$$ — орты координатных осей, а $$a_1, a_2, a_3$$ и $$b_1, b_2, b_3$$ — координаты векторов $$\mathbf{a}$$ и $$\mathbf{b}$$. ### Подставляем векторы: Векторы: $$\mathbf{a} = (-18, -2, -1)$$, $$\mathbf{b} = (-12, -1, -1)$$. $$\mathbf{c} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -18 & -2 & -1 \\ -12 & -1 & -1 \end{vmatrix}.$$ Раскрываем определитель: $$\mathbf{c} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} -2 & -1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} -18 & -1 \\ -12 & -1 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} -18 & -2 \\ -12 & -1 \end{vmatrix}.$$ ### Вычислим: 1. \( \begin{vmatrix} -2 & -1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = (-2)(-1) - (-1)(-1) = 2 - 1 = 1 \). 2. \( \begin{vmatrix} -18 & -1 \\ -12 & -1 \end{vmatrix} = (-18)(-1) - (-12)(-1) = 18 - 12 = 6 \). 3. \( \begin{vmatrix} -18 & -2 \\ -12 & -1 \end{vmatrix} = (-18)(-1) - (-12)(-2) = 18 - 24 = -6 \). ### Подставляем обратно: $$\mathbf{c} = \mathbf{i}(1) - \mathbf{j}(6) + \mathbf{k}(-6).$$ Итак, $$\mathbf{c} = (1, -6, -6)$$. ### Ответ: Ненулевой вектор, перпендикулярный данным векторам: $$\mathbf{c} = (1, -6, -6).$$ --- Хотите ли вы более подробное объяснение или проверку результата? 😊 ### Вопросы для углубления: 1. Что такое векторное произведение и его свойства? 2. Как определить, перпендикулярны ли два вектора? 3. Какие задачи можно решать с помощью векторного произведения? 4. Что означает геометрический смысл векторного произведения? 5. Как найти площадь параллелограмма, натянутого на два вектора? ### Советы: Всегда проверяйте результат, используя скалярное произведение нового вектора с исходными, чтобы убедиться, что оно равно нулю (условие перпендикулярности).

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Vector Algebra
Cross Product

Formulas

Cross Product Formula

Theorems

Properties of the Cross Product

Suitable Grade Level

Grades 10-12