Για να βρούμε το πολυώνυμο παρεμβολής Newton τέταρτης τάξης που διέρχεται από τα σημεία, ακολουθούμε τα εξής βήματα:

Βήμα 1: Κατασκευή Πίνακα Διαιρεμένων Διαφορών

Ο πίνακας διαιρεμένων διαφορών μας επιτρέπει να προσδιορίσουμε τους συντελεστές του πολυωνύμου της μορφής Newton:

[ P_4(x) = f(x_0) + f[x_0, x_1](x - x_0) + f[x_0, x_1, x_2](x - x_0)(x - x_1) + ... ]

Πίνακας δεδομένων:

Δίνεται το σετ σημείων:

x & y \\ \hline 1 & 5 \\ 2 & 7 \\ 4 & 52 \\ 5 & -5 \\ -5 & 40 \\ 10 & ? \end{array}$$ Θα συμπληρώσουμε τον πίνακα διαιρεμένων διαφορών και θα εξάγουμε τους συντελεστές του πολυωνύμου. --- 🔢 **Υπολογισμοί με τον πίνακα διαιρεμένων διαφορών θα γίνουν τώρα.** numpy as np # Δεδομένα x_values = np.array([1, 2, 4, 5, -5]) y_values = np.array([5, 7, 52, -5, 40]) # Αριθμός σημείων n = len(x_values) # Αρχικοποίηση πίνακα διαιρεμένων διαφορών div_diff = np.zeros((n, n)) div_diff[:, 0] = y_values # Υπολογισμός των διαιρεμένων διαφορών for j in range(1, n): for i in range(n - j): div_diff[i, j] = (div_diff[i + 1, j - 1] - div_diff[i, j - 1]) / (x_values[i + j] - x_values[i]) # Εξαγωγή των συντελεστών του πολυωνύμου του Newton coefficients = div_diff[0, :] # Εμφάνιση πίνακα διαιρεμένων διαφορών και συντελεστών div_diff, coefficients### **Βήμα 2: Εξαγωγή Πολυωνύμου Newton** Το πολυώνυμο Newton κατασκευάζεται ως εξής: $$P_4(x) = 5 + 2(x - 1) + 6.833(x - 1)(x - 2) - 8.333(x - 1)(x - 2)(x - 4) - 0.897(x - 1)(x - 2)(x - 4)(x - 5)$$ όπου οι συντελεστές είναι: - $$f[x_0] = 5$$ - $$f[x_0, x_1] = 2$$ - $$f[x_0, x_1, x_2] = 6.833$$ - $$f[x_0, x_1, x_2, x_3] = -8.333$$ - $$f[x_0, x_1, x_2, x_3, x_4] = -0.897$$ --- ### **Βήμα 3: Υπολογισμός $$P_4(3)$$** Τώρα υπολογίζουμε την τιμή του πολυωνύμου για $$x = 3$$. $$P_4(3) = 5 + 2(3 - 1) + 6.833(3 - 1)(3 - 2) - 8.333(3 - 1)(3 - 2)(3 - 4) - 0.897(3 - 1)(3 - 2)(3 - 4)(3 - 5)$$ 🔢 **Υπολογισμός της τιμής $$P_4(3)$$ τώρα.** Υπολογισμός του P_4(3) x_interp = 3 interp_value = coefficients[0] term = 1 for i in range(1, n): term *= (x_interp - x_values[i - 1]) interp_value += coefficients[i] * term # Επιστροφή της τιμής παρεμβολής interp_value### **Αποτέλεσμα Παρεμβολής** Η εκτιμώμενη τιμή του πολυωνύμου για $$x = 3$$ είναι: $$P_4(3) \approx 35.75$$ Θέλεις περισσότερες λεπτομέρειες για τον πίνακα ή τον τρόπο υπολογισμού; --- ### **Σχετικές Ερωτήσεις** 1. Πώς κατασκευάζεται ο πίνακας διαιρεμένων διαφορών; 2. Ποια είναι η διαφορά μεταξύ της παρεμβολής Lagrange και Newton; 3. Πώς μπορεί να επεκταθεί η μέθοδος Newton σε περισσότερα σημεία; 4. Τι σημαίνει ο όρος αριθμητική σταθερότητα στην παρεμβολή; 5. Πώς μπορεί να χρησιμοποιηθεί η παρεμβολή Newton στην αριθμητική ανάλυση; ### **💡 Συμβουλή** Η παρεμβολή Newton είναι ιδιαίτερα χρήσιμη όταν προσθέτουμε νέα σημεία, καθώς μπορούμε να ενημερώσουμε τον πίνακα διαιρεμένων διαφορών χωρίς να υπολογίζουμε ξανά όλους τους συντελεστές από την αρχή.