Geben Sie für f (x) = cos2x − 3sinx, Df = [0,
π
2
], das Newtonsche Interpolationspolynom an, das den Graphen von f an den Stellen x0 = 0, x1 =
π
6
und x

Um das Newtonsche Interpolationspolynom für die gegebene Funktion \( f(x) = \cos(2x) - 3\sin(x) \) auf dem Intervall \( D_f = [0, \frac{\pi}{2}] \) und den Punkten \( x_0 = 0 \), \( x_1 = \frac{\pi}{6} \), und \( x_2 = \frac{\pi}{4} \) zu bestimmen, gehen wir schrittweise vor:

---

### 1. **Werte der Funktion \( f(x) \) an den Punkten:**
Berechne die Funktionswerte an \( x_0 \), \( x_1 \), und \( x_2 \).

\[
f(0) = \cos(2 \cdot 0) - 3\sin(0) = 1 - 0 = 1
\]

\[
f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) - 3\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} - 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} = -1
\]

\[
f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) - 3\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0 - 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{3\sqrt{2}}{2}
\]

---

### 2. **Dividierte Differenzen:**

#### Erste Ordnung:
\[
f[x_0, x_1] = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0} = \frac{-1 - 1}{\frac{\pi}{6} - 0} = \frac{-2}{\frac{\pi}{6}} = -\frac{12}{\pi}
\]

\[
f[x_1, x_2] = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = \frac{-\frac{3\sqrt{2}}{2} - (-1)}{\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}} = \frac{-\frac{3\sqrt{2}}{2} + 1}{\frac{\pi}{12}}
\]

Berechnung des Zählers:
\[
-\frac{3\sqrt{2}}{2} + 1 = \frac{-3\sqrt{2} + 2}{2}
\]

Nun:
\[
f[x_1, x_2] = \frac{\frac{-3\sqrt{2} + 2}{2}}{\frac{\pi}{12}} = \frac{-3\sqrt{2} + 2}{2} \cdot \frac{12}{\pi} = \frac{-18\sqrt{2} + 12}{2\pi} = \frac{-9\sqrt{2} + 6}{\pi}
\]

#### Zweite Ordnung:
\[
f[x_0, x_1, x_2] = \frac{f[x_1, x_2] - f[x_0, x_1]}{x_2 - x_0}
\]

Berechnung des Zählers:
\[
f[x_1, x_2] - f[x_0, x_1] = \frac{-9\sqrt{2} + 6}{\pi} - \left(-\frac{12}{\pi}\right) = \frac{-9\sqrt{2} + 6}{\pi} + \frac{12}{\pi} = \frac{-9\sqrt{2} + 18}{\pi}
\]

Nun:
\[
f[x_0, x_1, x_2] = \frac{\frac{-9\sqrt{2} + 18}{\pi}}{\frac{\pi}{4}} = \frac{-9\sqrt{2} + 18}{\pi} \cdot \frac{4}{\pi} = \frac{4(-9\sqrt{2} + 18)}{\pi^2} = \frac{-36\sqrt{2} + 72}{\pi^2}
\]

---

### 3. **Newtonsche Interpolationsformel:**
Das Newtonsche Polynom lautet:
\[
P(x) = f(x_0) + f[x_0, x_1](x - x_0) + f[x_0, x_1, x_2](x - x_0)(x - x_1)
\]

Einsetzen der Werte:
\[
P(x) = 1 - \frac{12}{\pi}x + \frac{-36\sqrt{2} + 72}{\pi^2}x\left(x - \frac{\pi}{6}\right)
\]

---

### 4. **Vereinfachung (optional):**
Das Polynom kann weiter vereinfacht werden, falls nötig, aber dies ist die allgemeine Form des Newtonschen Interpolationspolynoms.

---

Möchten Sie eine detaillierte numerische Vereinfachung oder eine grafische Darstellung?

---

#### Weiterführende Fragen:
1. Möchten Sie eine schrittweise Erklärung zur numerischen Vereinfachung des Polynoms?
2. Soll das Polynom in eine andere Interpolationsform umgewandelt werden (z. B. Lagrange)?
3. Wünschen Sie die Ableitung oder Integration des Interpolationspolynoms?
4. Benötigen Sie eine Visualisierung der Funktion und des Polynoms?
5. Sollen weitere Punkte zur Genauigkeit hinzugefügt werden?

#### Tipp: Beim Arbeiten mit Newtonschem Polynom sind die dividierten Differenzen entscheidend, da sie die Interpolation exakt

Geben Sie für f (x) = cos2x − 3sinx, Df = [0, π/2], das Newtonsche Interpolationspolynom an, das den Graphen von f an den Stellen x0 = 0, x1 = π/6 und x2 = π/4 interpoliert.

Learn how to construct the Newton interpolation polynomial for f(x) = cos(2x) − 3sin(x) on the interval [0, π/2]. This detailed solution involves step-by-step calculation of divided differences and constructing the polynomial for points x0 = 0, x1 = π/6, and x2 = π/4. Suitable for undergraduate students studying numerical methods or calculus.

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