Για να βρούμε αν υπάρχουν φυσικοί αριθμοί $n$ για τους οποίους ισχύει ότι $\varphi(3n) = \varphi(4n)$, όπου $\varphi$ είναι η συνάρτηση του Euler, ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα:

1. Συνάρτηση Euler: Η συνάρτηση $\varphi(n)$ δίνει τον αριθμό των φυσικών αριθμών που είναι μικρότεροι του $n$ και πρώτοι με αυτό.

2. Εκφράσεις για $\varphi(3n)$ και $\varphi(4n)$:

   • Για να υπολογίσουμε την $\varphi(3n)$, παρατηρούμε ότι αν $n = p_1^{k_1} p_2^{k_2} \dots p_m^{k_m}$ είναι η ανάλυση του $n$ σε πρώτους παράγοντες, τότε: $\varphi(3n) = \varphi(3) \cdot \varphi(n) = 2 \cdot \varphi(n).$
   • Αντίστοιχα, για το $\varphi(4n)$: $\varphi(4n) = \varphi(4) \cdot \varphi(n) = 2 \cdot \varphi(n).$

3. Σύγκριση: Έχουμε ότι: $\varphi(3n) = 2 \cdot \varphi(n) \quad \text{και} \quad \varphi(4n) = 2 \cdot \varphi(n).$ Αυτό σημαίνει ότι: $\varphi(3n) = \varphi(4n).$ Άρα η εξίσωση είναι ταυτοτικά αληθής για κάθε φυσικό αριθμό $n$.

Συμπέρασμα

Η εξίσωση $\varphi(3n) = \varphi(4n)$ ισχύει για κάθε φυσικό αριθμό $n$, και επομένως κάθε φυσικός αριθμός $n$ αποτελεί λύση.

Θέλετε περισσότερες λεπτομέρειες ή έχετε απορίες;

Σχετικές ερωτήσεις:

1. Τι είναι η συνάρτηση του Euler και πώς υπολογίζεται γενικά;
2. Πώς βρίσκουμε την ανάλυση ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες;
3. Ποιες είναι οι ιδιότητες της συνάρτησης Euler που χρησιμοποιήσαμε;
4. Ποια είναι η σημασία της συνάρτησης Euler στη θεωρία αριθμών;
5. Πώς μπορούμε να επεκτείνουμε αυτή την ιδέα σε άλλους πολλαπλασιαστικούς αριθμούς;

Συμβουλή

Η συνάρτηση Euler είναι πολλαπλασιαστική, πράγμα που σημαίνει ότι για δύο πρώτους μεταξύ τους αριθμούς $a$ και $b$, ισχύει $\varphi(a \cdot b) = \varphi(a) \cdot \varphi(b)$.