Η συνάρτηση Euler φ (ή Euler's Totient Function), φ(n), μετράει το πλήθος των αριθμών από το 1 έως το $n$ που είναι πρώτοι με το $n$. Με άλλα λόγια, φ(n) υπολογίζει το πλήθος των θετικών ακεραίων μικρότερων του $n$ που δεν έχουν κοινούς διαιρέτες με το $n$, εκτός από το 1.

Για να υπολογίσουμε τη φ(n), τα βήματα είναι τα εξής:

1. Ανάλυση του $n$ σε γινόμενο πρώτων παραγόντων: Βρίσκουμε τους πρώτους παράγοντες του $n$. Δηλαδή, γράφουμε το $n$ ως γινόμενο πρώτων αριθμών: $n = p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdots p_m^{k_m}$, όπου $p_1, p_2, \dots, p_m$ είναι οι πρώτοι αριθμοί που διαιρούν το $n$.

2. Χρήση του τύπου του Euler: Ο τύπος για τη φ(n) όταν γνωρίζουμε την ανάλυση σε πρώτους παράγοντες είναι: $\phi(n) = n \cdot \left(1 - \frac{1}{p_1}\right) \cdot \left(1 - \frac{1}{p_2}\right) \cdots \left(1 - \frac{1}{p_m}\right)$ όπου κάθε $p_i$ είναι ένας πρώτος παράγοντας του $n$.

3. Εκτέλεση των πράξεων: Εφαρμόζουμε τον τύπο, αφαιρώντας ένα μέρος για κάθε μοναδικό πρώτο παράγοντα του $n$.

4. Παράδειγμα: Έστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε τη φ(12). Η ανάλυση σε πρώτους παράγοντες του 12 είναι $2^2 \cdot 3$. Σύμφωνα με τον τύπο: $\phi(12) = 12 \cdot \left(1 - \frac{1}{2}\right) \cdot \left(1 - \frac{1}{3}\right) = 12 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = 4$ Άρα, φ(12) = 4.

5. Ειδική περίπτωση: Αν $n$ είναι πρώτος, τότε φ(n) = $n - 1$, επειδή όλοι οι αριθμοί από το 1 έως το $n-1$ είναι πρώτοι προς το $n$.

Αν θέλεις αναλυτική εξήγηση για κάποιο συγκεκριμένο παράδειγμα, μπορώ να βοηθήσω!

---

Επεκτατικές Ερωτήσεις:

1. Πώς θα μπορούσαμε να υπολογίσουμε τη φ(n) αν $n$ είναι ένας μεγάλος σύνθετος αριθμός;
2. Τι σημαίνει ότι δύο αριθμοί είναι πρώτοι μεταξύ τους;
3. Πώς θα ήταν η διαδικασία αν υπήρχαν πολλαπλοί ίδιοι πρώτοι παράγοντες στο $n$;
4. Πώς υπολογίζουμε τη φ(n) αν ο $n$ είναι δύναμη ενός πρώτου αριθμού;
5. Πώς μπορεί η φ(n) να χρησιμοποιηθεί σε κρυπτογραφία, όπως στο RSA;

Συμβουλή: Σε έναν αριθμό με πολλαπλούς πρώτους παράγοντες, η φ(n) μειώνεται όσο αυξάνονται οι μοναδικοί πρώτοι που διαιρούν τον αριθμό.