Un pequeño país tiene una reserva de gas natural de 100000 millones de pies cúbicos. 
Si 𝐴(𝑡) denota la cantidad total de gas natural que se ha consumido en 𝑡 años, entonces 
𝑑𝐴/𝑑𝑡 es la rapidez o tasa de consumo. Se predice que dicha rapidez será de 500 + 10𝑡
millones de pies cúbicos al año. Si inicialmente no hay consumo de gas natural. ¿En 
cuántos años se agotarán las reservas de gas natural en la nación? 
9.Si en el ejercicio 8) la tasa de consumo es 𝑑𝐴
𝑑𝑡
= 2.74 − 0.11𝑡 − 0.01𝑡
2 miles de millones 
de galones por año, donde 𝑡 = 0 corresponde al año 1980. Calcule el número de galones 
que se consumieron entre 1980 y 1984.

Vamos a abordar ambos problemas por separado para encontrar las soluciones.

### Problema 1: Consumo de gas natural y agotamiento

Tenemos la tasa de consumo de gas natural como \( \frac{dA}{dt} = 500 + 10t \), donde \( t \) está en años y \( A(t) \) es la cantidad total de gas consumido en \( t \) años. Sabemos que hay una reserva total de 100,000 millones de pies cúbicos y que inicialmente no hay consumo, es decir, \( A(0) = 0 \).

Para encontrar el tiempo en que se agotará la reserva, tenemos que resolver la siguiente ecuación diferencial:

\[
\frac{dA}{dt} = 500 + 10t
\]

### Paso 1: Integrar para encontrar \( A(t) \)
Integramos ambos lados respecto a \( t \) para obtener \( A(t) \):

\[
A(t) = \int (500 + 10t) \, dt = 500t + 5t^2 + C
\]

Dado que \( A(0) = 0 \), podemos encontrar \( C \):

\[
A(0) = 500(0) + 5(0)^2 + C = 0 \implies C = 0
\]

Por lo tanto, la cantidad total de gas consumido es:

\[
A(t) = 500t + 5t^2
\]

### Paso 2: Encontrar el tiempo de agotamiento
Sabemos que la reserva es de 100,000 millones de pies cúbicos, por lo que tenemos que resolver la ecuación:

\[
500t + 5t^2 = 100,000
\]

Dividimos toda la ecuación entre 5:

\[
100t + t^2 = 20,000
\]

Esto es una ecuación cuadrática:

\[
t^2 + 100t - 20,000 = 0
\]

La resolvemos utilizando la fórmula general para ecuaciones cuadráticas:

\[
t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

donde \( a = 1 \), \( b = 100 \) y \( c = -20,000 \). Calculamos:

\[
t = \frac{-100 \pm \sqrt{100^2 - 4(1)(-20,000)}}{2(1)} = \frac{-100 \pm \sqrt{10,000 + 80,000}}{2} = \frac{-100 \pm \sqrt{90,000}}{2}
\]

\[
t = \frac{-100 \pm 300}{2}
\]

Tenemos dos soluciones: 

\[
t = \frac{-100 + 300}{2} = 100 \quad \text{y} \quad t = \frac{-100 - 300}{2} = -200
\]

Dado que el tiempo no puede ser negativo, tomamos la solución positiva \( t = 100 \). Por lo tanto, el gas se agotará en **100 años**.

---

### Problema 2: Consumo entre 1980 y 1984

La tasa de consumo de gas natural está dada por:

\[
\frac{dA}{dt} = 2.74 - 0.11t - 0.01t^2 \quad \text{(en miles de millones de galones por año)}
\]

Queremos encontrar la cantidad de gas consumido entre \( t = 0 \) (año 1980) y \( t = 4 \) (año 1984). Para esto, integramos la tasa de consumo desde \( t = 0 \) hasta \( t = 4 \).

\[
A(4) - A(0) = \int_0^4 (2.74 - 0.11t - 0.01t^2) \, dt
\]

### Paso 1: Calcular la integral
Integramos cada término por separado:

\[
A(t) = \int (2.74 - 0.11t - 0.01t^2) \, dt = 2.74t - \frac{0.11t^2}{2} - \frac{0.01t^3}{3} + C
\]

Ya que estamos interesados en el intervalo \( [0, 4] \), no necesitamos \( C \) (se cancela al restar). Evaluamos la integral en \( t = 4 \) y \( t = 0 \):

\[
A(4) = 2.74(4) - \frac{0.11(4^2)}{2} - \frac{0.01(4^3)}{3}
\]

\[
A(4) = 10.96 - \frac{0.11(16)}{2} - \frac{0.01(64)}{3} = 10.96 - 0.88 - 0.2133
\]

\[
A(4) = 9.8667 \, \text{miles de millones de galones}
\]

Por lo tanto, la cantidad total de galones consumidos entre 1980 y 1984 es **9.87 miles de millones de galones** (aproximadamente).

---

### ¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?
Aquí tienes 5 preguntas relacionadas para seguir explorando:
1. ¿Cómo se deduce el tiempo de agotamiento de una reserva dada una función de consumo?
2. ¿Cómo afecta un consumo no lineal a la predicción de recursos agotables?
3. ¿Cómo se aplica el cálculo integral en problemas de tasa de cambio?
4. ¿Qué sucede si la tasa de consumo cambia con el tiempo de manera más compleja?
5. ¿Cómo podríamos ajustar estas ecuaciones para incluir nuevas reservas de gas?

**Tip**: El cálculo integral es clave para resolver problemas de acumulación de cantidades, como el consumo total de un recurso a lo largo del tiempo.

Un pequeño país tiene una reserva de gas natural de 100000 millones de pies cúbicos. Si 𝐴(𝑡) denota la cantidad total de gas natural que se ha consumido en 𝑡 años, entonces 𝑑𝐴/𝑑𝑡 es la rapidez o tasa de consumo. Se predice que dicha rapidez será de 500 + 10𝑡 millones de pies cúbicos al año. Si inicialmente no hay consumo de gas natural. ¿En cuántos años se agotarán las reservas de gas natural en la nación? 9.Si en el ejercicio 8) la tasa de consumo es 𝑑𝐴/𝑑𝑡 = 2.74 − 0.11𝑡 − 0.01𝑡^2 miles de millones de galones por año, donde 𝑡 = 0 corresponde al año 1980. Calcule el número de galones que se consumieron entre 1980 y 1984.

Explore how to calculate the depletion of natural gas reserves using integral calculus and quadratic equations. This step-by-step guide covers solving differential equations for consumption rates and using definite integrals to calculate resource consumption over time. Suitable for advanced high school and college students.

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