Чтобы выяснить взаимное расположение двух плоскостей, заданных уравнениями, например:

$P_1: A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0,$ $P_2: A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0,$

нужно выполнить следующие шаги:

---

1. Проверить параллельность плоскостей

Плоскости параллельны, если их нормальные векторы $\vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)$ коллинеарны. Это проверяется через пропорциональность коэффициентов: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}.$

Если это условие выполнено:

• Если также $\frac{D_1}{D_2} \neq \frac{A_1}{A_2}$, плоскости параллельны и не совпадают.
• Если $\frac{D_1}{D_2} = \frac{A_1}{A_2}$, плоскости совпадают.

---

2. Проверить пересечение плоскостей

Если нормальные векторы $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$ не коллинеарны, то плоскости пересекаются по прямой.

Чтобы найти линию пересечения:

1. Решите систему двух уравнений $P_1$ и $P_2$, выразив $x$, $y$, $z$ в параметрическом виде.
2. Это даст уравнение прямой.

---

3. Пример

Для двух плоскостей: $P_1: 2x + 3y - z + 5 = 0,$ $P_2: 4x + 6y - 2z - 10 = 0,$

Шаг 1: Проверка параллельности Сравним коэффициенты нормалей: $\vec{n_1} = (2, 3, -1), \quad \vec{n_2} = (4, 6, -2).$ Проверяем пропорциональность: $\frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}.$ Плоскости коллинеарны.

Теперь проверим свободные члены: $\frac{5}{-10} \neq \frac{1}{2}.$ Следовательно, плоскости параллельны и не совпадают.

---

4. Если плоскости пересекаются

Пример других плоскостей: $P_1: x + y + z - 3 = 0,$ $P_2: 2x - y + z + 1 = 0.$

Сравним нормали: $\vec{n_1} = (1, 1, 1), \quad \vec{n_2} = (2, -1, 1).$ Нормали не пропорциональны, значит, плоскости пересекаются.

Чтобы найти линию пересечения:

1. Решим систему уравнений: $x + y + z = 3,$ $2x - y + z = -1.$

Вычтем первое уравнение из второго: $(2x - y + z) - (x + y + z) = -1 - 3,$ $x - 2y = -4 \quad \Rightarrow \quad x = 2y - 4.$

Подставим $x = 2y - 4$ в первое уравнение: $(2y - 4) + y + z = 3,$ $3y - 4 + z = 3 \quad \Rightarrow \quad z = -3y + 7.$

Параметрическое уравнение прямой пересечения: $x = 2t - 4, \quad y = t, \quad z = -3t + 7, \quad t \in \mathbb{R}.$

---

Хотите решить конкретный пример?

Вопросы для расширения:

1. Как доказать совпадение двух плоскостей?
2. Как найти расстояние между параллельными плоскостями?
3. Какие условия для одновременной параллельности и совпадения плоскостей?
4. Как записать уравнение прямой пересечения двух плоскостей в векторной форме?
5. Как определить угол между двумя плоскостями?

Совет:

Для быстрого нахождения угла между плоскостями используйте скалярное произведение нормальных векторов!