Bestäm en multiplikativ invers till 9 modulo 17.

För att bestämma den **multiplikativa inversen** till 9 modulo 17, behöver vi hitta ett tal \( x \) som uppfyller följande ekvation:

\[
9 \cdot x \equiv 1 \ (\text{mod} \ 17)
\]

Detta innebär att vi letar efter ett tal \( x \) sådant att när 9 multipliceras med \( x \) och sedan tas modulo 17, ger resultatet 1.

Vi kan använda den **utökade Euklidiska algoritmen** för att lösa detta.

1. Utför Euklids algoritm för att bestämma största gemensamma delare (SGD) mellan 9 och 17:

\[
17 = 1 \cdot 9 + 8
\]
\[
9 = 1 \cdot 8 + 1
\]
\[
8 = 8 \cdot 1 + 0
\]

Eftersom SGD(9, 17) är 1, finns det en multiplikativ invers.

2. Nu går vi tillbaka genom stegen för att uttrycka 1 som en linjärkombination av 9 och 17:

\[
1 = 9 - 1 \cdot 8
\]
\[
1 = 9 - 1 \cdot (17 - 1 \cdot 9)
\]
\[
1 = 9 - 1 \cdot 17 + 1 \cdot 9
\]
\[
1 = 2 \cdot 9 - 1 \cdot 17
\]

Detta ger oss ekvationen:

\[
1 = 2 \cdot 9 - 17
\]

Så \( x = 2 \) är den multiplikativa inversen till 9 modulo 17.

### Slutsats:
Den **multiplikativa inversen** till 9 modulo 17 är **2**.

Vill du ha fler detaljer eller har några frågor?

Här är några följdfrågor att överväga:
1. Hur används den utökade Euklidiska algoritmen för att lösa Diofantiska ekvationer?
2. Kan vi hitta en multiplikativ invers till ett tal som inte är relativt primärt till modulen?
3. Vad innebär att ett tal har en multiplikativ invers i en modulär aritmetik?
4. Hur kan man generalisera metoden för större moduli?
5. Hur relaterar den multiplikativa inversen till modulära exponentiella problem?

**Tips:** Multiplikativa inverser finns endast om talet och modulen är relativt primtal (d.v.s. om deras SGD är 1).

Learn how to determine the multiplicative inverse of 9 modulo 17 using the extended Euclidean algorithm. This step-by-step solution includes number theory concepts and modular arithmetic, ideal for students in Grades 9-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation