Diketahui 2 times square root of 2 plus square root of 5 adalah salah satu dari akar polinom monik P open parentheses x close parentheses dimana semua koefisiennya merupakan bilangan bulat dan P open parentheses x close parentheses mempunyai derajat paling kecil. Nilai dari P open parentheses 2 close parentheses equals....

Diketahui bahwa salah satu akar dari polinom monik \( P(x) \) adalah \( 2\sqrt{2} + \sqrt{5} \), dan polinom tersebut memiliki koefisien bilangan bulat. Kita diminta mencari nilai dari \( P(2) \).

Untuk memecahkan masalah ini, kita akan membangun polinom yang memiliki \( 2\sqrt{2} + \sqrt{5} \) sebagai akar, dan memastikan bahwa semua koefisiennya adalah bilangan bulat.

### Langkah 1: Misalkan \( \alpha = 2\sqrt{2} + \sqrt{5} \).
Kita akan membangun polinom yang memiliki akar \( \alpha \) ini.

#### Langkah 2: Mencari ekspresi sederhana untuk \( \alpha \).
Mulai dengan mensubstitusikan \( \alpha = 2\sqrt{2} + \sqrt{5} \) ke dalam persamaan kuadrat.

\[
\alpha - 2\sqrt{2} = \sqrt{5}
\]
Kuadratkan kedua sisi untuk menghilangkan akar \( \sqrt{5} \):

\[
(\alpha - 2\sqrt{2})^2 = (\sqrt{5})^2
\]
\[
\alpha^2 - 4\alpha\sqrt{2} + 8 = 5
\]
\[
\alpha^2 - 4\alpha\sqrt{2} + 3 = 0 \quad \text{(1)}
\]

#### Langkah 3: Kuadratkan lagi untuk menghilangkan \( \sqrt{2} \).
Kuadratkan persamaan (1):

\[
(\alpha^2 - 4\alpha\sqrt{2} + 3)^2 = 0
\]

Dari sini, kita dapat menemukan polinom terkecil yang memiliki \( \alpha \) sebagai akar, dan dapat menghitung \( P(2) \).

Ingin penjelasan lebih lanjut tentang langkah-langkah ini atau pertanyaan lain seputar polinomial ini?

**Pertanyaan tambahan:**
1. Bagaimana cara memastikan koefisien polinom selalu bilangan bulat?
2. Apa definisi dari polinom monik?
3. Bagaimana cara menemukan akar suatu polinom jika koefisiennya diketahui?
4. Apa bedanya polinom dengan koefisien rasional dan bilangan bulat?
5. Bagaimana cara menyederhanakan ekspresi dengan akar seperti \( 2\sqrt{2} + \sqrt{5} \)?

**Tip:** Saat bekerja dengan polinom, perhatikan selalu koefisien untuk memastikan apakah polinom tersebut memenuhi syarat tertentu, seperti koefisien bulat.

Diketahui 2√2 + √5 adalah salah satu dari akar polinom monik P(x) dimana semua koefisiennya merupakan bilangan bulat dan P(x) mempunyai derajat paling kecil. Nilai dari P(2) adalah....

Discover how to solve a monic polynomial where one of the roots is 2√2 + √5, ensuring all coefficients are integers. This problem explores polynomial expansions and involves applying square root properties. Suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation