Щоб побудувати поліном з цілими коефіцієнтами, коренем якого є $x = \sqrt{5} + \sqrt[3]{5}$, потрібно діяти поетапно, використовуючи те, що цей вираз є сумою двох алгебраїчних чисел: $\sqrt{5}$ і $\sqrt[3]{5}$. Обидва є коренями власних поліномів, тому необхідно знайти мінімальний спільний поліном для цього виразу.

Крок 1: Позначення

Позначимо: $y = \sqrt{5}, \quad z = \sqrt[3]{5}.$ Таким чином, наше початкове рівняння можна записати як: $x = y + z.$

Крок 2: Мінімальні поліноми для $y$ і $z$

1. $y = \sqrt{5}$ є коренем квадратичного рівняння: $y^2 - 5 = 0, \quad \text{тобто} \quad p_1(y) = y^2 - 5.$
2. $z = \sqrt[3]{5}$ є коренем кубічного рівняння: $z^3 - 5 = 0, \quad \text{тобто} \quad p_2(z) = z^3 - 5.$

Крок 3: Співвідношення між $x$, $y$ і $z$

Оскільки $x = y + z$, потрібно виразити $x$ через ці дві змінні. Щоб знайти мінімальний поліном для $x$, почнемо з піднесення виразу $x = y + z$ до степенів.

Квадрат $x$

Піднесемо обидві частини рівняння до квадрату: $x^2 = (y + z)^2 = y^2 + 2yz + z^2.$ Підставимо $y^2 = 5$ та $z^3 = 5$, тоді маємо: $x^2 = 5 + 2yz + z^2.$ Тепер нам потрібно з’ясувати, що робити з добутком $yz$. Для цього нам доведеться використати додаткові рівняння або розглянути більш детальну алгебраїчну структуру цих чисел.

Крок 4: Піднесення до куба

Далі піднесемо $x$ до куба і вирішимо рівняння більш детально, щоб побудувати поліном із цілими коефіцієнтами.

Чи потрібні вам деталі цих обчислень? Можу продовжити побудову або розписати інші аспекти.

Схожі питання:

1. Як знайти мінімальний поліном для інших подібних коренів?
2. Як побудувати поліном, коли корінь має форму $a + b\sqrt{n}$?
3. Чи завжди можливе побудування поліномів із цілими коефіцієнтами для таких виразів?
4. Які існують методи для спрощення алгебраїчних рівнянь такого типу?
5. Як алгебраїчне число визначає ступінь мінімального полінома?

Порада: При роботі з алгебраїчними числами допомагає знання теорії Галуа та мінімальних поліномів.