Untuk menurunkan rumus momen inersia bagi silinder pejal yang berputar terhadap sumbu yang melalui pusat massanya, kita perlu menggunakan definisi momen inersia, yang diberikan oleh persamaan:

$I = \int r^2 \, dm$

Dimana:

• $I$ adalah momen inersia,
• $r$ adalah jarak dari elemen massa kecil $dm$ ke sumbu rotasi (di sini, sumbu rotasi adalah melalui pusat massa silinder),
• $dm$ adalah elemen massa dari silinder.

Langkah-langkah:

1. Menentukan Massa Elemen

Silinder dianggap simetris terhadap sumbu pusat massanya. Kita anggap silinder memiliki massa total $M$, jari-jari $R$, dan tinggi $h$. Karena distribusi massa merata, kita bisa menggunakan kepadatan permukaan untuk menggambarkan elemen kecil $dm$.

Karena kita tertarik pada distribusi radial, maka kita pertimbangkan cincin konsentrik kecil di dalam silinder yang memiliki ketebalan $dr$. Massa elemen $dm$ untuk cincin ini diberikan oleh:

$dm = \sigma \cdot dA$

Dimana:

• $\sigma = \frac{M}{\pi R^2 h}$ adalah kepadatan massa permukaan,
• $dA = 2\pi r \, dr \cdot h$ adalah luas elemen cincin dengan radius $r$.

Jadi, elemen massanya menjadi:

$dm = \frac{M}{\pi R^2 h} \cdot 2\pi r h \, dr = \frac{2M}{R^2} r \, dr$

2. Menghitung Momen Inersia

Selanjutnya, kita substitusi elemen massa $dm$ ini ke dalam integral momen inersia:

$I = \int_0^R r^2 \, dm = \int_0^R r^2 \cdot \frac{2M}{R^2} r \, dr$

Persamaan ini menjadi:

$I = \frac{2M}{R^2} \int_0^R r^3 \, dr$

3. Melakukan Integrasi

Sekarang kita lakukan integrasi dari $r^3$:

$I = \frac{2M}{R^2} \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^R$

Ini menghasilkan:

$I = \frac{2M}{R^2} \cdot \frac{R^4}{4} = \frac{2M R^2}{4} = \frac{1}{2} M R^2$

Hasil Akhir:

Jadi, momen inersia untuk silinder pejal bermassa $M$ dan berjari-jari $R$ yang berputar terhadap sumbu melalui pusat massanya adalah:

$I = \frac{1}{2} M R^2$

Kesimpulan:

Rumus ini menunjukkan bahwa momen inersia dari silinder pejal bergantung pada massa $M$ dan kuadrat dari jari-jari $R$. Momen inersia lebih besar untuk silinder dengan jari-jari yang lebih besar, yang intuitif karena massa terdistribusi lebih jauh dari sumbu rotasi.

---

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut mengenai langkah-langkah di atas? Berikut adalah beberapa pertanyaan terkait yang dapat membantu memperdalam pemahaman:

1. Bagaimana pengaruh bentuk silinder terhadap momen inersianya?
2. Mengapa kita perlu menghitung integral dalam menurunkan momen inersia?
3. Bagaimana momen inersia berubah jika silinder berlubang (hollow)?
4. Apa perbedaan momen inersia untuk benda pejal dan benda berlubang?
5. Bagaimana momen inersia dipengaruhi oleh sumbu rotasi yang tidak melalui pusat massa?

Tip: Dalam mekanika rotasi, momen inersia adalah analog dari massa dalam gerak linier, dan ia menentukan resistensi benda terhadap perubahan kecepatan angulernya.