Untuk menurunkan rumus momen inersia ($I$) bagi silinder pejal bermassa $m$ dan berjari-jari $R$ yang berputar terhadap sumbu yang melalui pusat massanya, kita akan menggunakan definisi momen inersia untuk benda kontinu. Mari kita lakukan langkah-langkahnya:

Definisi Momen Inersia

Momen inersia $I$ untuk benda kontinu didefinisikan sebagai: $I = \int r^2 \, \text{dm}$ di mana $r$ adalah jarak dari elemen massa $\text{dm}$ ke sumbu rotasi.

Untuk silinder pejal yang berputar terhadap sumbu z (sumbu rotasi melalui pusat massanya), kita akan menggunakan koordinat silinder $(r, \theta, z)$. Dalam hal ini, $r$ adalah jarak radial dari elemen massa ke sumbu rotasi (sumbu z).

Elemen Massa ($\text{dm}$)

Silinder pejal memiliki massa $m$, radius $R$, dan tinggi $h$. Massa total dapat dinyatakan dalam kepadatan volumetrik $\rho$: $\rho = \frac{m}{V} = \frac{m}{\pi R^2 h}$ di mana $V = \pi R^2 h$ adalah volume silinder.

Elemen massa dalam koordinat silinder adalah: $\text{dm} = \rho \, \text{dV} = \rho \, r \, \text{d}r \, \text{d}\theta \, \text{d}z$

Momen Inersia untuk Silinder Pejal

Substitusikan $\text{dm}$ ke dalam persamaan momen inersia: $I = \int r^2 \, \text{dm} = \int r^2 \, \rho \, r \, \text{d}r \, \text{d}\theta \, \text{d}z$

Karena $\rho$ adalah konstan, kita keluarkan dari integral: $I = \rho \int_0^h \int_0^{2\pi} \int_0^R r^3 \, \text{d}r \, \text{d}\theta \, \text{d}z$

Evaluasi Integral

1. Integral terhadap $r$: $\int_0^R r^3 \, \text{d}r = \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^R = \frac{R^4}{4}$

2. Integral terhadap $\theta$: $\int_0^{2\pi} \text{d}\theta = 2\pi$

3. Integral terhadap $z$: $\int_0^h \text{d}z = h$

Substitusikan hasil integral: $I = \rho \cdot \frac{R^4}{4} \cdot 2\pi \cdot h$

Substitusi $\rho$

Kita substitusikan nilai $\rho = \frac{m}{\pi R^2 h}$: $I = \frac{m}{\pi R^2 h} \cdot \frac{R^4}{4} \cdot 2\pi \cdot h$

Sederhanakan: $I = \frac{m R^2}{2}$

Hasil Akhir

Jadi, momen inersia untuk silinder pejal bermassa $m$ dan berjari-jari $R$ yang berputar terhadap sumbu yang melalui pusat massanya adalah: $I = \frac{1}{2} m R^2$

Momen inersia ini menunjukkan bagaimana massa silinder terdistribusi terhadap sumbu rotasinya, dengan bagian massa yang lebih jauh dari sumbu rotasi memberikan kontribusi yang lebih besar terhadap nilai $I$.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan tentang langkah-langkah ini?

---

Berikut 5 pertanyaan terkait yang bisa membantu memperdalam pemahaman Anda:

1. Bagaimana momen inersia berubah jika silinder berongga daripada pejal?
2. Mengapa momen inersia bergantung pada kuadrat dari jarak $r$?
3. Bagaimana cara menghitung momen inersia untuk benda yang memiliki bentuk tak beraturan?
4. Apa perbedaan momen inersia jika sumbu rotasi berada di tepi silinder, bukan di pusatnya?
5. Bagaimana pengaruh tinggi silinder terhadap nilai momen inersianya?

Tip: Dalam banyak kasus, momen inersia yang lebih besar berarti lebih sulit bagi benda tersebut untuk memulai atau menghentikan rotasi.