Beim Weitwurf verläuft die Flugbahn eines Balles annähernd parabelförmig. Michelle wirft den Ball aus einer Höhe von 1,8 m ab. Der Ball erreicht nach 15 m seine maximale Höhe von 5 m.
a) Stellen Sie eine Funktionsgleichung auf, die die Flugbahn modelliert.
b) Überprüfen Sie, ob Michelle ihren bisherigen Wurfrekord von 45 m Weite übertreffen kann.

Um die Flugbahn des Balles zu modellieren, verwenden wir eine quadratische Funktion, da die Flugbahn parabelförmig ist. Eine allgemeine Form dieser Funktion lautet:

\[
y(x) = ax^2 + bx + c
\]

Dabei ist \(x\) die horizontale Entfernung und \(y(x)\) die Höhe des Balles in Abhängigkeit von \(x\).

### a) Funktionsgleichung aufstellen

Wir wissen folgende Punkte:
1. Der Ball wird bei \(x = 0\) in einer Höhe von \(y(0) = 1{,}8\) m abgeworfen.
2. Die maximale Höhe von 5 m wird bei \(x = 15\) m erreicht.
3. Bei \(x = d\) (der Weite des Wurfs) erreicht der Ball den Boden, also \(y(d) = 0\).

Das sind drei Bedingungen, um die Parameter \(a\), \(b\) und \(c\) zu bestimmen.

1. **Startpunkt des Wurfs**:
   \[
   y(0) = 1{,}8 \implies c = 1{,}8
   \]

2. **Maximale Höhe bei \(x = 15\), \(y(15) = 5\)**:
   Setzen wir \(y(15) = 5\) und \(c = 1{,}8\) in die allgemeine Gleichung ein:
   \[
   5 = a(15)^2 + b(15) + 1{,}8
   \implies 5 = 225a + 15b + 1{,}8
   \implies 3{,}2 = 225a + 15b \tag{1}
   \]

3. **Der Ball erreicht den Boden bei \(x = d\), also \(y(d) = 0\)**:
   \[
   0 = a d^2 + b d + 1{,}8
   \]

Nun verwenden wir die Tatsache, dass die maximale Höhe bei \(x = 15\) liegt. Bei \(x = 15\) ist die Steigung der Parabel 0, das heißt:
   \[
   y'(x) = 2ax + b
   \]
   Bei \(x = 15\) ist also \(y'(15) = 0\), was bedeutet:
   \[
   2a(15) + b = 0
   \implies 30a + b = 0
   \implies b = -30a \tag{2}
   \]

Setzen wir \(b = -30a\) in Gleichung (1) ein:
   \[
   3{,}2 = 225a + 15(-30a)
   \implies 3{,}2 = 225a - 450a
   \implies 3{,}2 = -225a
   \implies a = -\frac{3{,}2}{225} = -\frac{16}{1125}
   \]

Nun setzen wir \(a = -\frac{16}{1125}\) in \(b = -30a\) ein:
   \[
   b = -30\left(-\frac{16}{1125}\right) = \frac{480}{1125} = \frac{16}{37{,}5}
   \]

Damit lautet die Funktionsgleichung der Flugbahn:

\[
y(x) = -\frac{16}{1125}x^2 + \frac{16}{37{,}5}x + 1{,}8
\]

### b) Überprüfen, ob Michelle ihren Wurfrekord übertrifft

Der Ball trifft den Boden, wenn \(y(x) = 0\). Wir müssen also die Gleichung \(y(x) = 0\) lösen:

\[
0 = -\frac{16}{1125}x^2 + \frac{16}{37{,}5}x + 1{,}8
\]

Diese quadratische Gleichung können wir mit der Mitternachtsformel lösen:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Mit \(a = -\frac{16}{1125}\), \(b = \frac{16}{37{,}5}\) und \(c = 1{,}8\), erhalten wir:

\[
x = \frac{-\frac{16}{37{,}5} \pm \sqrt{\left(\frac{16}{37{,}5}\right)^2 - 4 \left(-\frac{16}{1125}\right) \cdot 1{,}8}}{2 \cdot -\frac{16}{1125}}
\]

Ich kann dies berechnen und überprüfen, ob \(x > 45\) ist.Die Lösung der Gleichung \( y(x) = 0 \) ergibt zwei Werte:

- \( x_1 \approx -3{,}75 \) (negativ, also irrelevant für die Weite)
- \( x_2 \approx 33{,}75 \) m

Das bedeutet, der Ball trifft nach etwa \( 33{,}75 \) m wieder auf den Boden.

### Ergebnis:
Michelle übertrifft ihren bisherigen Wurfrekord von 45 m nicht, da die maximale Wurfweite dieses Wurfs nur ca. 33{,}75 m beträgt.

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Hier sind fünf verwandte Fragen, die auf diesem Konzept aufbauen:
1. Wie beeinflusst die Abwurfhöhe die Flugweite eines Wurfs?
2. Wie verändert sich die Flugbahn, wenn der Abwurfwinkel variiert wird?
3. Wie wird die Flugbahn bei einem Weitwurf mit Luftwiderstand berechnet?
4. Was ist die Bedeutung der Diskriminante bei quadratischen Gleichungen?
5. Wie könnte man den optimalen Abwurfwinkel für maximale Wurfweite bestimmen?

**Tipp**: Die maximale Wurfweite eines Objekts wird nicht nur von der Anfangsgeschwindigkeit, sondern auch vom Abwurfwinkel beeinflusst.

Beim Weitwurf verläuft die Flugbahn eines Balles annähernd parabelförmig. Michelle wirft den Ball aus einer Höhe von 1,8 m ab. Der Ball erreicht nach 15 m seine maximale Höhe von 5 m. a) Stellen Sie eine Funktionsgleichung auf, die die Flugbahn modelliert. b) Überprüfen Sie, ob Michelle ihren bisherigen Wurfrekord von 45 m Weite übertreffen kann.

Learn how to model the parabolic trajectory of a thrown ball using a quadratic function. Find the maximum height and determine if the throw exceeds a distance of 45 meters. This problem involves key concepts in algebra and quadratic functions, suitable for students in Grades 9-11.

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