Функция вероятности для случайной величины $X$ задана как:

$P(X = k) = p(1 - p)^{k - 1}, \quad k = 1, 2, \dots$

Это распределение является геометрическим с параметром $p$. Для нахождения оценки максимального правдоподобия (ОМП) для параметра $p$ по результатам трёх независимых наблюдений $X_1 = 1$, $X_2 = 3$, $X_3 = 2$, необходимо записать функцию правдоподобия и максимизировать её по $p$.

Шаг 1: Функция правдоподобия

Функция правдоподобия для трёх независимых наблюдений $X_1 = 1$, $X_2 = 3$, $X_3 = 2$ имеет вид:

$L(p) = P(X_1 = 1) \cdot P(X_2 = 3) \cdot P(X_3 = 2)$

Подставим выражение для вероятности:

$L(p) = p(1 - p)^0 \cdot p(1 - p)^2 \cdot p(1 - p)^1$

Упростим выражение:

$L(p) = p^3 (1 - p)^3$

Шаг 2: Логарифм функции правдоподобия

Возьмём логарифм функции правдоподобия для удобства максимизации:

$\ln L(p) = 3 \ln p + 3 \ln(1 - p)$

Шаг 3: Производная логарифма функции правдоподобия

Теперь найдём производную логарифма функции правдоподобия по $p$:

$\frac{d}{dp} \ln L(p) = \frac{3}{p} - \frac{3}{1 - p}$

Шаг 4: Равенство производной нулю

Для нахождения максимума функции приравняем производную к нулю:

$\frac{3}{p} = \frac{3}{1 - p}$

Решим это уравнение:

$\frac{1}{p} = \frac{1}{1 - p}$

$1 - p = p$

$p = \frac{1}{2}$

Ответ:

Оценка максимального правдоподобия для параметра $p$ равна $\hat{p} = \frac{1}{2}$.

---

Хочешь ли ты узнать больше подробностей о методе максимального правдоподобия?

Вот несколько дополнительных вопросов, которые можно рассмотреть:

1. Как интерпретировать оценку максимального правдоподобия?
2. Каковы свойства оценки максимального правдоподобия?
3. Что произойдет, если число наблюдений будет больше?
4. Как найти доверительные интервалы для оценки $p$?
5. В чём разница между методом моментов и методом максимального правдоподобия?

Совет: При нахождении оценки максимального правдоподобия всегда полезно проверять выпуклость функции правдоподобия, чтобы убедиться, что найденный максимум действительно максимален.