Найти оценку максимального правдоподобия для параметра p по результатам трёх независимых наблюдений 1,3,2 случайной величины X распределение которой задано функцией вероятности P(X=k) =p(1-p) ^(k-1), k=1, 2....

Функция вероятности для случайной величины \( X \) задана как:

\[
P(X = k) = p(1 - p)^{k - 1}, \quad k = 1, 2, \dots
\]

Это распределение является геометрическим с параметром \( p \). Для нахождения оценки максимального правдоподобия (ОМП) для параметра \( p \) по результатам трёх независимых наблюдений \( X_1 = 1 \), \( X_2 = 3 \), \( X_3 = 2 \), необходимо записать функцию правдоподобия и максимизировать её по \( p \).

### Шаг 1: Функция правдоподобия

Функция правдоподобия для трёх независимых наблюдений \( X_1 = 1 \), \( X_2 = 3 \), \( X_3 = 2 \) имеет вид:

\[
L(p) = P(X_1 = 1) \cdot P(X_2 = 3) \cdot P(X_3 = 2)
\]

Подставим выражение для вероятности:

\[
L(p) = p(1 - p)^0 \cdot p(1 - p)^2 \cdot p(1 - p)^1
\]

Упростим выражение:

\[
L(p) = p^3 (1 - p)^3
\]

### Шаг 2: Логарифм функции правдоподобия

Возьмём логарифм функции правдоподобия для удобства максимизации:

\[
\ln L(p) = 3 \ln p + 3 \ln(1 - p)
\]

### Шаг 3: Производная логарифма функции правдоподобия

Теперь найдём производную логарифма функции правдоподобия по \( p \):

\[
\frac{d}{dp} \ln L(p) = \frac{3}{p} - \frac{3}{1 - p}
\]

### Шаг 4: Равенство производной нулю

Для нахождения максимума функции приравняем производную к нулю:

\[
\frac{3}{p} = \frac{3}{1 - p}
\]

Решим это уравнение:

\[
\frac{1}{p} = \frac{1}{1 - p}
\]

\[
1 - p = p
\]

\[
p = \frac{1}{2}
\]

### Ответ:

Оценка максимального правдоподобия для параметра \( p \) равна \( \hat{p} = \frac{1}{2} \).

---

Хочешь ли ты узнать больше подробностей о методе максимального правдоподобия?

Вот несколько дополнительных вопросов, которые можно рассмотреть:
1. Как интерпретировать оценку максимального правдоподобия?
2. Каковы свойства оценки максимального правдоподобия?
3. Что произойдет, если число наблюдений будет больше?
4. Как найти доверительные интервалы для оценки \( p \)?
5. В чём разница между методом моментов и методом максимального правдоподобия?

**Совет:** При нахождении оценки максимального правдоподобия всегда полезно проверять выпуклость функции правдоподобия, чтобы убедиться, что найденный максимум действительно максимален.

Найти оценку максимального правдоподобия для параметра p по результатам трёх независимых наблюдений 1,3,2 случайной величины X, распределение которой задано функцией вероятности P(X=k) = p(1-p)^(k-1), k=1, 2....

Learn how to find the maximum likelihood estimate (MLE) for the parameter p in a geometric distribution with three independent observations: 1, 3, and 2. This solution covers essential concepts in probability and statistics, including likelihood functions, logarithmic transformations, and solving for MLE.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation