Math Problem Statement

Cho hai số x, y thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của M = 5x2 + y2

Solution

Chúng ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M=5x2+y2M = 5x^2 + y^2, với điều kiện x+y=1x + y = 1.

Bước 1: Biến đổi phương trình

Từ điều kiện x+y=1x + y = 1, ta có thể biểu diễn yy theo xx: y=1xy = 1 - x

Bước 2: Thay yy vào biểu thức MM

Thay giá trị y=1xy = 1 - x vào biểu thức MM: M=5x2+(1x)2M = 5x^2 + (1 - x)^2

Bước 3: Rút gọn biểu thức

Ta tiếp tục rút gọn biểu thức: M=5x2+(12x+x2)M = 5x^2 + (1 - 2x + x^2) M=5x2+12x+x2M = 5x^2 + 1 - 2x + x^2 M=6x22x+1M = 6x^2 - 2x + 1

Bước 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của MM

Đây là một phương trình bậc hai theo xx. Để tìm giá trị nhỏ nhất, ta dùng công thức tìm giá trị cực tiểu của một hàm bậc hai ax2+bx+cax^2 + bx + c, đó là x=b2ax = -\frac{b}{2a}.

Với M=6x22x+1M = 6x^2 - 2x + 1, ta có: a=6,b=2,c=1a = 6, \quad b = -2, \quad c = 1 Áp dụng công thức: x=22×6=212=16x = -\frac{-2}{2 \times 6} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}

Bước 5: Tính giá trị nhỏ nhất của MM

Khi x=16x = \frac{1}{6}, ta thay vào biểu thức MM: M=6(16)22×16+1M = 6 \left( \frac{1}{6} \right)^2 - 2 \times \frac{1}{6} + 1 M=6×13626+1M = 6 \times \frac{1}{36} - \frac{2}{6} + 1 M=63613+1M = \frac{6}{36} - \frac{1}{3} + 1 M=1613+1M = \frac{1}{6} - \frac{1}{3} + 1 Chuyển tất cả về mẫu số chung là 6: M=1626+66M = \frac{1}{6} - \frac{2}{6} + \frac{6}{6} M=12+66=56M = \frac{1 - 2 + 6}{6} = \frac{5}{6}

Kết luận:

Giá trị nhỏ nhất của MM56\frac{5}{6}.


Bạn có muốn xem thêm các chi tiết giải thích hoặc có câu hỏi gì khác không?

Các câu hỏi mở rộng:

  1. Làm thế nào để xác định giá trị cực tiểu trong các hàm bậc hai?
  2. Phương trình bậc hai có thể ứng dụng như thế nào trong các bài toán tối ưu hóa?
  3. Tại sao biểu thức MM có thể được xem như một hàm bậc hai?
  4. Làm sao để chứng minh rằng giá trị cực tiểu của hàm bậc hai luôn có dạng x=b2ax = -\frac{b}{2a}?
  5. Trong các bài toán tối ưu hóa, làm sao để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm?

Tip: Khi gặp bài toán tối ưu hóa hàm bậc hai, hãy nhớ rằng với hàm có dạng ax2+bx+cax^2 + bx + c, nếu a>0a > 0, hàm có giá trị cực tiểu tại x=b2ax = -\frac{b}{2a}.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Algebra
Quadratic Equations
Optimization

Formulas

M = 5x^2 + y^2
x + y = 1
Minimum of a quadratic function: x = -b / 2a

Theorems

Minimum value of a quadratic function
Method of substitution in algebra

Suitable Grade Level

Grades 9-12