Chúng ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M = 5x^2 + y^2$, với điều kiện $x + y = 1$.

Bước 1: Biến đổi phương trình

Từ điều kiện $x + y = 1$, ta có thể biểu diễn $y$ theo $x$: $y = 1 - x$

Bước 2: Thay $y$ vào biểu thức $M$

Thay giá trị $y = 1 - x$ vào biểu thức $M$: $M = 5x^2 + (1 - x)^2$

Bước 3: Rút gọn biểu thức

Ta tiếp tục rút gọn biểu thức: $M = 5x^2 + (1 - 2x + x^2)$ $M = 5x^2 + 1 - 2x + x^2$ $M = 6x^2 - 2x + 1$

Bước 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của $M$

Đây là một phương trình bậc hai theo $x$. Để tìm giá trị nhỏ nhất, ta dùng công thức tìm giá trị cực tiểu của một hàm bậc hai $ax^2 + bx + c$, đó là $x = -\frac{b}{2a}$.

Với $M = 6x^2 - 2x + 1$, ta có: $a = 6, \quad b = -2, \quad c = 1$ Áp dụng công thức: $x = -\frac{-2}{2 \times 6} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$

Bước 5: Tính giá trị nhỏ nhất của $M$

Khi $x = \frac{1}{6}$, ta thay vào biểu thức $M$: $M = 6 \left( \frac{1}{6} \right)^2 - 2 \times \frac{1}{6} + 1$ $M = 6 \times \frac{1}{36} - \frac{2}{6} + 1$ $M = \frac{6}{36} - \frac{1}{3} + 1$ $M = \frac{1}{6} - \frac{1}{3} + 1$ Chuyển tất cả về mẫu số chung là 6: $M = \frac{1}{6} - \frac{2}{6} + \frac{6}{6}$ $M = \frac{1 - 2 + 6}{6} = \frac{5}{6}$

Kết luận:

Giá trị nhỏ nhất của $M$ là $\frac{5}{6}$.

---

Bạn có muốn xem thêm các chi tiết giải thích hoặc có câu hỏi gì khác không?

Các câu hỏi mở rộng:

1. Làm thế nào để xác định giá trị cực tiểu trong các hàm bậc hai?
2. Phương trình bậc hai có thể ứng dụng như thế nào trong các bài toán tối ưu hóa?
3. Tại sao biểu thức $M$ có thể được xem như một hàm bậc hai?
4. Làm sao để chứng minh rằng giá trị cực tiểu của hàm bậc hai luôn có dạng $x = -\frac{b}{2a}$?
5. Trong các bài toán tối ưu hóa, làm sao để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm?

Tip: Khi gặp bài toán tối ưu hóa hàm bậc hai, hãy nhớ rằng với hàm có dạng $ax^2 + bx + c$, nếu $a > 0$, hàm có giá trị cực tiểu tại $x = -\frac{b}{2a}$.