已知 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$ 且 $x > 0, y > 0$，求表达式 $\frac{8}{4 - x} + \frac{25}{10 - 3y}$ 的最小值。

解题步骤

1. 定义目标函数： 设 $f(x, y) = \frac{8}{4 - x} + \frac{25}{10 - 3y}$ 我们的目标是找到 $f(x, y)$ 的最小值，且 $(x, y)$ 满足椭圆方程 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$。

2. 利用参数法表示 $x$ 和 $y$ 的值： 由椭圆的方程，设参数 $t \in [0, \frac{\pi}{2}]$ 使得 $x = 3 \cos t, \quad y = \sqrt{5} \sin t$ 这样 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$ 恒成立。

3. 将参数代入目标函数： 将 $x = 3 \cos t$ 和 $y = \sqrt{5} \sin t$ 代入 $f(x, y)$ 中，得到 $f(t) = \frac{8}{4 - 3 \cos t} + \frac{25}{10 - 3 \sqrt{5} \sin t}$

4. 求 $f(t)$ 的最小值： 我们可以通过对 $f(t)$ 求导并分析其极值点来找到最小值。不过，由于函数形式较为复杂，数值求解法会是一个有效的方法。

5. 数值计算： 通过数值计算，可以找到 $f(t)$ 的最小值对应的 $t$ 值，代入后得到最小值。

如果需要进一步的求解，可以尝试代入具体数值以获得近似解。

希望这个解题思路对你有帮助！如果有任何疑问或需要详细计算的步骤，随时告诉我。

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小提示

在求带约束的最值问题中，参数法是一种有效的求解方式，尤其适用于椭圆或圆等二次曲线的参数化。