Diketahui $P_2 = \{ax^2 + bx + c \mid a, b, c \in \mathbb{R} \}$ adalah ruang vektor polinomial berderajat paling tinggi 2 (polinomial kuadrat) atas $\mathbb{R}$. Himpunan basis yang potensial untuk $P_2$ adalah $\{x+1, x^2-1, 2x-1\}$. Kita perlu menyelidiki apakah himpunan ini merupakan himpunan pembangun minimal untuk $P_2$, yaitu apakah himpunan ini dapat membangun setiap elemen $P_2$ dan apakah himpunan ini bebas linear.

Langkah 1: Periksa apakah himpunan ini dapat membangun polinomial dalam $P_2$.

Polinomial umum dalam $P_2$ berbentuk:

$p(x) = ax^2 + bx + c$

Sekarang, kita asumsikan polinomial ini bisa dituliskan sebagai kombinasi linear dari $\{x+1, x^2-1, 2x-1\}$, yaitu:

$p(x) = \alpha_1(x+1) + \alpha_2(x^2-1) + \alpha_3(2x-1)$

Mari kita ekspresikan ini lebih lanjut:

$p(x) = \alpha_1(x+1) + \alpha_2(x^2-1) + \alpha_3(2x-1)$ $p(x) = \alpha_1x + \alpha_1 + \alpha_2x^2 - \alpha_2 + 2\alpha_3x - \alpha_3$ $p(x) = \alpha_2x^2 + (\alpha_1 + 2\alpha_3)x + (\alpha_1 - \alpha_2 - \alpha_3)$

Sekarang, kita cocokkan dengan bentuk umum $ax^2 + bx + c$, sehingga:

$a = \alpha_2$ $b = \alpha_1 + 2\alpha_3$ $c = \alpha_1 - \alpha_2 - \alpha_3$

Sistem persamaan ini memungkinkan kita untuk mengekspresikan setiap polinomial dalam $P_2$ sebagai kombinasi linear dari $\{x+1, x^2-1, 2x-1\}$, sehingga himpunan ini dapat membangun seluruh ruang $P_2$.

Langkah 2: Uji kebebasan linear

Sekarang, kita periksa apakah himpunan ini bebas linear. Untuk itu, kita coba apakah ada kombinasi linear non-trivial yang menghasilkan polinomial nol:

$\alpha_1(x+1) + \alpha_2(x^2-1) + \alpha_3(2x-1) = 0$

Ini menghasilkan:

$\alpha_2x^2 + (\alpha_1 + 2\alpha_3)x + (\alpha_1 - \alpha_2 - \alpha_3) = 0$

Agar persamaan ini benar untuk semua $x$, koefisien dari setiap suku harus nol:

1. $\alpha_2 = 0$
2. $\alpha_1 + 2\alpha_3 = 0$
3. $\alpha_1 - \alpha_2 - \alpha_3 = 0$

Dari $\alpha_2 = 0$, persamaan kedua menjadi $\alpha_1 + 2\alpha_3 = 0$, sehingga $\alpha_1 = -2\alpha_3$. Substitusi ini ke persamaan ketiga:

$-2\alpha_3 - 0 - \alpha_3 = 0 \implies -3\alpha_3 = 0 \implies \alpha_3 = 0$

Maka, $\alpha_3 = 0$, dan $\alpha_1 = 0$ juga. Dengan demikian, $\alpha_1 = \alpha_2 = \alpha_3 = 0$, sehingga tidak ada kombinasi linear non-trivial yang menghasilkan nol.

Kesimpulan:

Karena himpunan ini dapat membangun seluruh ruang $P_2$ dan bebas linear, maka $\{x+1, x^2-1, 2x-1\}$ adalah himpunan pembangun minimal untuk $P_2$.

---

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan lainnya?

Berikut adalah beberapa pertanyaan terkait:

1. Apa itu ruang vektor dan bagaimana cara menentukan basisnya?
2. Mengapa kebebasan linear penting dalam menentukan basis?
3. Bagaimana cara memeriksa apakah suatu himpunan membangun seluruh ruang vektor?
4. Apa yang dimaksud dengan himpunan pembangun minimal?
5. Apa perbedaan antara basis dan himpunan pembangun?

Tip: Untuk menguji kebebasan linear, setara dengan memeriksa apakah persamaan linier memiliki solusi non-trivial.