Pour répondre à cette question, il est important de vérifier les propriétés de l'ensemble $S = \{x^2 - 1, x^2 + 1, x - 1, x + 1\}$ et de les comparer à l'espace vectoriel des polynômes de degré au plus 2, $P_2$, qui contient les polynômes de la forme $p(x) = a + bx + cx^2$, avec $a, b, c \in \mathbb{R}$.

Analyse des énoncés :

I. $S$ est linéairement dépendant.

Pour vérifier la dépendance ou l'indépendance linéaire de $S$, on doit résoudre l'équation suivante : $\alpha_1 (x^2 - 1) + \alpha_2 (x^2 + 1) + \alpha_3 (x - 1) + \alpha_4 (x + 1) = 0$ où $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ sont des scalaires réels. Développons cette équation : $\alpha_1 (x^2 - 1) = \alpha_1 x^2 - \alpha_1$ $\alpha_2 (x^2 + 1) = \alpha_2 x^2 + \alpha_2$ $\alpha_3 (x - 1) = \alpha_3 x - \alpha_3$ $\alpha_4 (x + 1) = \alpha_4 x + \alpha_4$

En combinant tous ces termes, nous obtenons : $(\alpha_1 + \alpha_2) x^2 + (\alpha_3 + \alpha_4) x + (-\alpha_1 + \alpha_2 - \alpha_3 + \alpha_4) = 0$

Pour que cette équation soit nulle pour tout $x$, il faut que les coefficients de $x^2$, $x$, et le terme constant soient tous nuls :

1. $\alpha_1 + \alpha_2 = 0$
2. $\alpha_3 + \alpha_4 = 0$
3. $-\alpha_1 + \alpha_2 - \alpha_3 + \alpha_4 = 0$

Résolvons ce système d'équations :

• De la première équation, on obtient $\alpha_2 = -\alpha_1$.
• De la deuxième équation, on obtient $\alpha_4 = -\alpha_3$.

Substituons ces résultats dans la troisième équation : $-\alpha_1 - \alpha_1 - \alpha_3 - \alpha_3 = 0$ $-2\alpha_1 - 2\alpha_3 = 0$ $\alpha_1 + \alpha_3 = 0$

Cela signifie que $\alpha_1 = -\alpha_3$. Ainsi, $\alpha_2 = -\alpha_1 = \alpha_3$ et $\alpha_4 = -\alpha_3 = -\alpha_1$.

En conclusion, les coefficients $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ ne sont pas tous nuls (ils sont tous liés), ce qui prouve que l'ensemble $S$ est linéairement dépendant.

Conclusion pour I : Vrai.

II. $S$ est linéairement indépendant.

D'après ce qui précède, nous avons prouvé que $S$ est linéairement dépendant. Donc, cet énoncé est faux.

Conclusion pour II : Faux.

III. $S$ engendre $P_2$.

Pour vérifier si $S$ engendre $P_2$, il faut voir si tout polynôme de degré au plus 2 peut être exprimé comme une combinaison linéaire des éléments de $S$. Puisque $S$ contient 4 éléments mais est linéairement dépendant (comme démontré dans I), il ne peut pas former une base de $P_2$, un espace vectoriel de dimension 3 (puisque $P_2$ est engendré par les polynômes $\{1, x, x^2\}$).

Puisque $S$ est dépendant, il ne peut pas engendrer tout $P_2$.

Conclusion pour III : Faux.

Réponse finale :

• I. Vrai.
• II. Faux.
• III. Faux.

Voulez-vous des détails supplémentaires ou avez-vous des questions ?

Voici quelques questions pour approfondir :

1. Qu'est-ce qu'un sous-espace vectoriel et quelles sont les conditions pour qu'un ensemble soit un sous-espace vectoriel ?
2. Comment déterminer l'indépendance ou la dépendance linéaire d'un ensemble de vecteurs ?
3. Quelle est la dimension de l'espace des polynômes de degré au plus 2, et pourquoi ?
4. Quelle est la définition d'un ensemble qui engendre un espace vectoriel ?
5. Quelle est la relation entre un ensemble linéairement indépendant et une base ?

Conseil : Lorsque vous travaillez sur l'indépendance linéaire, la clé est de tester si une combinaison linéaire égale à zéro implique que tous les coefficients sont nuls.