برای پیدا کردن حداقل و حداکثر مقدار عبارت

$A = 2\sin^4\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) + 3\sin^2(x)$

باید ابتدا ویژگی‌های مربوط به توابع مثلثاتی و بازه‌های ممکن آنها را تحلیل کنیم.

1. تحلیل تابع اول:

عبارت $\sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right)$ را باید تحلیل کنیم.

می‌دانیم که:

$\sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\cos(x)$

این نتیجه از ویژگی‌های مثلثاتی به دست می‌آید. بنابراین، عبارت $\sin^4\left(\frac{3\pi}{2} + x\right)$ تبدیل می‌شود به:

$\sin^4\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = \left(-\cos(x)\right)^4 = \cos^4(x)$

پس عبارت $A$ به شکل زیر تبدیل می‌شود:

$A = 2\cos^4(x) + 3\sin^2(x)$

2. تحلیل دامنه و بازه‌ها:

• $\cos(x)$ و $\sin(x)$ هر دو در بازه $[-1, 1]$ هستند.
• بنابراین $\cos^4(x)$ در بازه $[0, 1]$ است و $\sin^2(x)$ نیز در بازه $[0, 1]$ قرار دارد.

3. تحلیل حداقل و حداکثر مقدار:

برای بررسی حداقل و حداکثر مقدار، باید ترکیب‌های مختلفی از $\cos(x)$ و $\sin(x)$ را بررسی کنیم.

حداقل مقدار:

برای حداقل مقدار، باید عبارت $2\cos^4(x) + 3\sin^2(x)$ را زمانی که $\cos(x) = 0$ و $\sin(x) = 1$ یا بالعکس، کمینه کنیم.

• وقتی $\cos(x) = 0$، داریم: $A = 2(0)^4 + 3(1)^2 = 3$

• وقتی $\sin(x) = 0$، داریم: $A = 2(1)^4 + 3(0)^2 = 2$

بنابراین حداقل مقدار $A = 2$ است.

حداکثر مقدار:

برای حداکثر مقدار، باید عبارت $2\cos^4(x) + 3\sin^2(x)$ را زمانی که $\cos(x) = 1$ و $\sin(x) = 0$ بیشینه کنیم.

• وقتی $\cos(x) = 1$، داریم: $A = 2(1)^4 + 3(0)^2 = 2$

• وقتی $\sin(x) = 1$، داریم: $A = 2(0)^4 + 3(1)^2 = 3$

بنابراین حداکثر مقدار $A = 3$ است.

نتیجه‌گیری:

• حداقل مقدار عبارت $A = 2$
• حداکثر مقدار عبارت $A = 3$

سوالات مرتبط:

1. چگونه می‌توانیم بررسی کنیم که آیا $\cos(x)$ و $\sin(x)$ می‌توانند به طور همزمان در نقاط مختلف مقادیر خاصی مانند $0$ یا $1$ بگیرند؟
2. چگونه می‌توان تابع $\cos^4(x)$ را برای حل مسائل مشابه گسترش داد؟
3. چرا استفاده از ویژگی‌های مثلثاتی مانند $\sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\cos(x)$ در این مسائل ضروری است؟
4. آیا برای پیدا کردن حداقل و حداکثر مقدار، می‌توان از مشتق‌ها استفاده کرد؟ چگونه؟
5. اگر در تابع مورد نظر $x$ به مقدار خاصی داده شود، چگونه می‌توان مقدار دقیق آن را محاسبه کرد؟

نکته:

همیشه برای بررسی حداکثر و حداقل مقادیر توابع مثلثاتی، ابتدا باید ویژگی‌های تابع مورد نظر را با دقت تحلیل کرده و سپس آن را به شکل ساده‌تری بازنویسی کنید تا راحت‌تر بتوانید بازه‌های ممکن را بررسی کنید.