Teorema Nilai Rata-Rata (Mean Value Theorem, MVT):

Teorema ini menyatakan bahwa jika suatu fungsi $f(x)$ kontinu pada interval tertutup $[a, b]$ dan diferensiabel pada interval terbuka $(a, b)$, maka ada setidaknya satu $c$ di $(a, b)$ yang memenuhi persamaan:

$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.$

Langkah Penyelesaian

1. Fungsi dan interval:

   • $f(x) = 5 - \frac{4}{x}$
   • Interval $[1, 4]$

2. Cek kekontinuan dan keberdiferensialan:

   • Fungsi $f(x)$ kontinu di $[1, 4]$ karena tidak memiliki nilai $x$ yang menyebabkan penyebut nol.
   • Fungsi $f(x)$ diferensiabel di $(1, 4)$ karena turunannya terdefinisi di interval tersebut.

3. Hitung rata-rata perubahan fungsi pada interval: $f(b) - f(a) = f(4) - f(1).$

   • $f(4) = 5 - \frac{4}{4} = 5 - 1 = 4$,
   • $f(1) = 5 - \frac{4}{1} = 5 - 4 = 1$.

   Jadi, $\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{4 - 1}{4 - 1} = \frac{3}{3} = 1.$

4. Cari $f'(x)$:

   • Fungsi $f(x) = 5 - \frac{4}{x}$.
   • Turunan: $f'(x) = \frac{d}{dx} \left( 5 - \frac{4}{x} \right) = 0 + \frac{4}{x^2} = \frac{4}{x^2}.$

5. Persamaan untuk $c$: Berdasarkan MVT, $f'(c) = \frac{4}{c^2} = 1.$

6. Cari $c$: $\frac{4}{c^2} = 1 \implies c^2 = 4 \implies c = \pm 2.$

7. Pilih $c$ di interval $(1, 4)$: Hanya $c = 2$ yang berada di interval $(1, 4)$.

Jawaban:

Nilai $c$ yang dijamin oleh Teorema Nilai Rata-Rata adalah $c = 2$.

---

Apakah Anda ingin penjelasan lebih detail atau memiliki pertanyaan? Berikut adalah beberapa pertanyaan terkait:

1. Apa syarat-syarat fungsi untuk menggunakan Teorema Nilai Rata-Rata?
2. Bagaimana cara menghitung rata-rata perubahan untuk fungsi selain $f(x)$?
3. Mengapa nilai $c$ berada di interval $(1, 4)$?
4. Apa bedanya Teorema Nilai Rata-Rata dengan Teorema Rolle?
5. Bagaimana menangani kasus di mana $f(x)$ tidak kontinu atau tidak diferensiabel?

Tip: Selalu periksa syarat kekontinuan dan keberdiferensialan sebelum menerapkan Teorema Nil