Среди 2020 студентов, пришедших на стажировку, некоторые между собой знакомы (знакомства взаимны; новые знакомства по ходу задачи не появляются; считаем, что человек не знаком сам с собой). Известно, что для любой группы студентов среди них найдётся один, который в выбранной группе знает не более 583 человек. Какое наибольшее количество пар знакомых может быть среди студентов?

Задачу можно решать через анализ графов, где вершинами будут студенты, а рёбрами — их знакомства. Проблема сводится к нахождению максимального числа рёбер в графе, при условии, что любой подграф содержит хотя бы одну вершину с не более чем 583 инцидентными рёбрами.

### Шаг 1: Представление задачи через граф

Представим 2020 студентов как вершины графа \( G \) с 2020 вершинами. Каждая пара знакомых студентов образует ребро. Наша цель — найти максимальное количество рёбер, которое может быть в таком графе.

Из условия известно, что в любом подграфе графа \( G \) существует хотя бы одна вершина, степень которой не больше 583. Это означает, что максимальная степень любой вершины (студента) не может превышать 583.

### Шаг 2: Максимальная степень вершины

Пусть \( d(v) \) обозначает степень вершины \( v \), то есть количество рёбер, инцидентных вершине \( v \). Из условия задачи видно, что для любой вершины \( v \) степень не может превышать 583: \( d(v) \leq 583 \) для всех \( v \in G \).

### Шаг 3: Оценка числа рёбер

В графе с \( n \) вершинами максимальное количество рёбер (если граф полный) может быть \( \binom{n}{2} \). В нашем случае:

\[
n = 2020 \quad \Rightarrow \quad \text{максимальное количество рёбер в полном графе} = \binom{2020}{2} = \frac{2020 \times 2019}{2} = 2039190.
\]

Однако в нашем графе каждая вершина может иметь не более 583 инцидентных рёбер. Следовательно, максимальное количество рёбер можно оценить через степень вершин.

Каждая вершина может быть соединена не более чем с 583 другими вершинами. Если каждая из 2020 вершин имеет максимальную возможную степень 583, то общее количество рёбер в графе будет:

\[
\frac{2020 \times 583}{2} = 589830.
\]

### Ответ

Таким образом, наибольшее количество пар знакомых студентов может быть равно \( 589830 \).

---

Есть ли у вас вопросы или нужно больше деталей по решению задачи?

Вот 5 вопросов для дальнейшего размышления:

1. Как изменится количество рёбер, если максимальная степень вершины уменьшится?
2. Можно ли применить другую теорию графов для оценки количества рёбер?
3. Какое максимальное количество рёбер будет, если число студентов увеличить до 2500?
4. Как можно визуализировать граф, чтобы увидеть максимальные связи?
5. Как влияют ограничения на степень вершины на структуру графа?

**Совет:** При работе с графами важно учитывать ограничения на степень вершины, так как это значительно влияет на общую структуру и количество рёбер.

Explore how to find the maximum number of familiar pairs among 2020 students using graph theory and combinatorics. This problem demonstrates key mathematical concepts like vertex degree limitations and the maximum number of edges in a graph, providing a detailed solution with calculations.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation