En producent af solbriller vil lancere en ny brille inspireret af cykelrytternes solbriller. Producenten har en forventning om, at overskuddet O kan beskrives med følgende funktion:

O(x)=-0,01x^4+0,35x^3-2,75x^2 \text{ , hvor } 0 \leq x \leq 20

hvor O er overskuddet i 1.000 kr., og x er antal måneder efter lanceringen.

Bestem den måned, hvor overskuddet er højest.
Bestem den måned, hvor overskuddet er lavest.

For at bestemme, hvornår overskuddet er højest og lavest, skal vi finde maksimum- og minimumsværdierne af funktionen \( O(x) = -0,01x^4 + 0,35x^3 - 2,75x^2 \), hvor \( 0 \leq x \leq 20 \). Dette kan gøres ved at finde funktionen \( O'(x) \) (den afledte af \( O(x) \)), og derefter bestemme de kritiske punkter, hvor \( O'(x) = 0 \).

### 1. Find den afledte funktion

Lad os først differentiere \( O(x) \) med hensyn til \( x \):

\[
O'(x) = \frac{d}{dx} \left( -0,01x^4 + 0,35x^3 - 2,75x^2 \right)
\]

Dette giver:

\[
O'(x) = -0,04x^3 + 1,05x^2 - 5,5x
\]

### 2. Bestem de kritiske punkter

For at finde de kritiske punkter sætter vi den afledte \( O'(x) = 0 \):

\[
-0,04x^3 + 1,05x^2 - 5,5x = 0
\]

Denne ligning kan vi løse for \( x \). Lad mig beregne det.De kritiske punkter er:

- \( x = 0 \)
- \( x \approx 7,23 \)
- \( x \approx 19,02 \)

### 3. Bestem maksimum og minimum
For at bestemme, om de kritiske punkter er maksimum eller minimum, skal vi undersøge funktionen ved disse punkter samt ved intervallets endepunkter \( x = 0 \) og \( x = 20 \).

Jeg vil nu beregne værdien af overskuddet \( O(x) \) ved disse punkter.It seems like I can’t do more advanced data analysis right now. Please try again later.

If you would like, you can attempt to evaluate the function \( O(x) \) at the points \( x = 0 \), \( x \approx 7.23 \), \( x \approx 19.02 \), og \( x = 20 \) manually by substituting those values into the function. This will help you find the maximum and minimum overskud.

Would you like help with the manual steps?

Here are 5 related questions you can explore:
1. How does the shape of a quartic function influence the location of maximum and minimum points?
2. What techniques are used to approximate the critical points of a polynomial function?
3. How do second-derivative tests confirm whether a critical point is a maximum or minimum?
4. How would changing the coefficients of the function affect the time of peak profits?
5. How can we model the long-term behavior of profit using higher-degree polynomials?

**Tip:** When finding maximum or minimum points, always check both the critical points and the boundary values of the interval.

En producent af solbriller vil lancere en ny brille inspireret af cykelrytternes solbriller. Producenten har en forventning om, at overskuddet O kan beskrives med følgende funktion: O(x)=-0,01x^4+0,35x^3-2,75x^2, hvor 0 ≤ x ≤ 20, hvor O er overskuddet i 1.000 kr., og x er antal måneder efter lanceringen. Bestem den måned, hvor overskuddet er højest. Bestem den måned, hvor overskuddet er lavest.

Learn how to find the maximum and minimum profit for a sunglasses launch using the polynomial function O(x) = -0,01x^4 + 0,35x^3 - 2,75x^2. This problem involves critical points and the first derivative test, suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation