Разбор задачи:

1. В соревновании участвуют $50$ человек: $25$ рыцарей (всегда говорят правду) и $25$ лжецов (всегда лгут).
2. Половина участников выбыла, то есть осталось $25$ человек. Среди оставшихся нужно найти наибольшее возможное количество рыцарей.
3. Каждый из оставшихся заявил, что выиграл ровно у одного рыцаря.

Задача сводится к тому, чтобы максимизировать число рыцарей среди оставшихся $25$ человек, при этом учитывая условия их высказываний.

---

Анализ условий:

1. Рыцари всегда говорят правду, значит, если рыцарь говорит, что выиграл ровно у одного рыцаря, это должно быть правдой.
2. Лжецы всегда лгут, и их утверждения ложны. Если лжец утверждает, что выиграл у одного рыцаря, на самом деле он не выигрывал ни у одного рыцаря.

---

Наибольшее количество рыцарей среди оставшихся:

• Пусть среди оставшихся $x$ рыцарей и $25 - x$ лжецов.
• Каждый из $x$ рыцарей говорит правду, и значит, каждый действительно выиграл у ровно одного рыцаря. Значит, среди оставшихся должны быть хотя бы $x$ побед рыцарей над другими рыцарями.
• Однако общее число рыцарей в оставшихся участниках также ограничено. Поскольку каждый лжец лжёт и не мог выиграть у рыцаря, это условие усложняет ситуацию.

---

Стратегия максимизации числа рыцарей:

• Чтобы число рыцарей было максимально, попробуем взять x = 12 рыцарей и $25 - 12 = 13$ лжецов.
• В таком случае каждый из $12$ рыцарей действительно побеждает у одного другого рыцаря.
• Это возможно, если $12$ рыцарей организуются так, что каждый выигрывает ровно у одного другого (например, образуя циклические пары побед).

Таким образом, максимальное количество рыцарей, которое может остаться, — это 12.

---

Ответ:

Наибольшее количество рыцарей, которое могло остаться среди участников турнира, равно 12.

---

Есть ли у вас вопросы или хотите подробное объяснение какого-то шага?
Вот 5 вопросов, которые могут быть интересны:

1. Как организовать победы рыцарей в круговой системе?
2. Почему $x = 13$ не может быть решением?
3. Как проверить, что лжецы действительно не выигрывают у рыцарей?
4. Какие другие подходы можно использовать для решения подобных задач?
5. Как построить схему турнира, удовлетворяющую условиям?

Совет: При решении логических задач полезно представлять высказывания участников как систему ограничений.