**En el rango de entre 0°C y 100°C, el volumen de 1kg de agua a una cierta temperatura es dado, aproximadamente, por el siguiente modelo:**

V=999.87 - 0.06426T + 0.0085043T**^**2 - 0.0000679T**^**3

**Determine la termperatura que brinda un volumen máximo.**

Para determinar la temperatura que maximiza el volumen \( V \) de 1 kg de agua, dado por el modelo:

\[
V(T) = 999.87 - 0.06426T + 0.0085043T^2 - 0.0000679T^3
\]

donde \( T \) es la temperatura en grados Celsius, seguiremos estos pasos:

### 1. Derivada de \( V(T) \)

Primero, encontramos la derivada de \( V(T) \) con respecto a \( T \):

\[
V'(T) = \frac{dV}{dT} = -0.06426 + 2 \times 0.0085043 \cdot T - 3 \times 0.0000679 \cdot T^2
\]

Simplificando:

\[
V'(T) = -0.06426 + 0.0170086 \cdot T - 0.0002037 \cdot T^2
\]

### 2. Encontrar los puntos críticos

Para encontrar los puntos críticos, establecemos \( V'(T) = 0 \) y resolvemos para \( T \):

\[
-0.06426 + 0.0170086 \cdot T - 0.0002037 \cdot T^2 = 0
\]

Esta es una ecuación cuadrática en \( T \):

\[
0.0002037 \cdot T^2 - 0.0170086 \cdot T + 0.06426 = 0
\]

Podemos resolver esta ecuación cuadrática utilizando la fórmula general:

\[
T = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

donde \( a = 0.0002037 \), \( b = -0.0170086 \), y \( c = 0.06426 \).

### 3. Resolviendo la ecuación cuadrática

Voy a calcular los valores de \( T \) que satisfacen esta ecuación.

\[
T = \frac{-(-0.0170086) \pm \sqrt{(-0.0170086)^2 - 4 \cdot 0.0002037 \cdot 0.06426}}{2 \cdot 0.0002037}
\]

\[
T = \frac{0.0170086 \pm \sqrt{0.000289292 + 0.0000522868}}{0.0004074}
\]

\[
T = \frac{0.0170086 \pm \sqrt{0.0003415788}}{0.0004074}
\]

\[
T = \frac{0.0170086 \pm 0.018479}{0.0004074}
\]

Esto da dos soluciones para \( T \). Ahora resolveré para obtener los valores exactos:

### 4. Evaluar \( T \) en el rango dado

De las dos soluciones, solo la que cae dentro del rango de 0°C a 100°C será relevante. Evaluaremos ambas.

Voy a calcular las soluciones exactas ahora.Las soluciones de la ecuación cuadrática son aproximadamente:

- \( T_1 \approx 79.53 \) °C
- \( T_2 \approx 3.97 \) °C

### Conclusión:
Ambos valores están dentro del rango de 0°C a 100°C. Para determinar cuál corresponde al volumen máximo, podemos evaluar la derivada segunda o analizar el contexto físico. Sin embargo, en este caso, el valor más alto de \( T \) (79.53°C) corresponde al volumen máximo dentro del rango dado.

**La temperatura que maximiza el volumen es aproximadamente \( 79.53 \) °C.**

¿Te gustaría más detalles sobre este proceso o hay alguna otra pregunta que te interese?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se interpreta físicamente la temperatura que maximiza el volumen de agua?
2. ¿Qué ocurre con el volumen a temperaturas más altas fuera del rango dado?
3. ¿Cómo influiría una modificación en los coeficientes del modelo en la temperatura óptima?
4. ¿Qué otros métodos se pueden utilizar para encontrar máximos en funciones cúbicas?
5. ¿Cómo se podría graficar \( V(T) \) para visualizar mejor el punto de máximo volumen?

**Tip:** Resolver ecuaciones cuadráticas con la fórmula general es fundamental para encontrar puntos críticos en el análisis de máximos y mínimos.

Discover how to maximize the volume of 1 kg of water by finding the temperature that optimizes volume using a cubic model. Learn the derivative method to find critical points and solve the quadratic equation for temperature. Suitable for advanced high school students and above.

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