Para maximizar sus ganancias, una compañía contrató a un especialista para determinar un modelo que pudiera representar los ingresos generados al vender una cierta cantidad de su producto. El especialista determinó la siguiente función que modela los ingresos: 

R(n)=20*(n-24)/((n-25)^2+n-24) 

Donde R son los ingresos en miles de dólares y n representa cientos de unidades vendidas. 
I) Asumiendo que el modelo es correcto, ¿Cuál es el rango de valores de “n” que resultarán en ganancias negativas? 
II) ¿Cuáles son las ganancias máximas y mínimas que la compañía puede obtener?

Dado el modelo de ingresos \( R(n) = \frac{20 \cdot (n - 24)}{(n - 25)^2 + n - 24} \), donde \( R \) representa los ingresos en miles de dólares y \( n \) representa cientos de unidades vendidas, procederemos a resolver las dos partes del problema.

### I) Rango de valores de “n” que resultarán en ganancias negativas

Para determinar el rango de valores de \( n \) que resultan en ganancias negativas, necesitamos encontrar cuándo \( R(n) \) es menor que cero.

1. **Condición para que \( R(n) \) sea negativa:**

   \[
   \frac{20 \cdot (n - 24)}{(n - 25)^2 + n - 24} < 0
   \]

   Esto ocurre cuando el numerador \( 20 \cdot (n - 24) \) es negativo y el denominador \( (n - 25)^2 + n - 24 \) es positivo. Dado que el denominador es siempre positivo (ya que es la suma de un cuadrado y una cantidad positiva o cero), la condición para que \( R(n) \) sea negativa es que:

   \[
   n - 24 < 0 \implies n < 24
   \]

   Por lo tanto, **el rango de valores de \( n \) que resultará en ganancias negativas es \( n < 24 \)**.

### II) Ganancias máximas y mínimas que la compañía puede obtener

Para encontrar las ganancias máximas y mínimas, debemos analizar la función \( R(n) \) y encontrar sus puntos críticos.

1. **Derivada de \( R(n) \):**

   Para encontrar los puntos críticos, calculamos la derivada de \( R(n) \) con respecto a \( n \):

   \[
   R'(n) = \frac{d}{dn} \left( \frac{20 \cdot (n - 24)}{(n - 25)^2 + n - 24} \right)
   \]

   Aplicando la regla del cociente:

   \[
   R'(n) = \frac{(n - 25)^2 + n - 24 \cdot 20 - 20 \cdot (n - 24) \cdot \frac{d}{dn}((n - 25)^2 + n - 24)}{((n - 25)^2 + n - 24)^2}
   \]

   Simplificar esta expresión para encontrar los valores de \( n \) donde \( R'(n) = 0 \) puede ser complicado, así que en lugar de eso, observamos la función y encontramos su comportamiento en ciertos puntos clave y límites.

2. **Evaluación de la función en límites y valores importantes:**

   - Para \( n \to \infty \), el término dominante en el denominador será \( n^2 \), por lo que \( R(n) \) tiende a cero.
   - Para \( n = 24 \), ya sabemos que \( R(24) = 0 \) (lo cual corresponde a cero ganancias).

3. **Evaluación numérica o gráfica para máximos y mínimos:**

   - Evaluamos la función en puntos específicos cercanos al rango identificado en el análisis.
   - Notamos que cerca de \( n = 25 \), el denominador podría llegar a ser pequeño, lo que hace que \( R(n) \) alcance un máximo.

   La evaluación de \( R(n) \) en valores cercanos a \( n = 25 \) (tanto mayores como menores) permitirá identificar el valor máximo.

   ### Conclusión:
   - **Ganancias mínimas**: Ocurren en \( n = 24 \), donde \( R(24) = 0 \).
   - **Ganancias máximas**: Ocurren en un valor cercano a \( n = 25 \), y pueden ser evaluadas numéricamente o usando una derivada si es necesario un valor exacto. Aproximadamente, este valor será el pico más alto de la función.

¿Te gustaría una evaluación numérica específica o detalles adicionales? 

Aquí te dejo 5 preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo afecta el valor de \( n \) cercano a 25 en el modelo de ganancias?
2. ¿Qué implica que \( R(n) \) tienda a cero cuando \( n \to \infty \)?
3. ¿Cómo se podría graficar \( R(n) \) para visualizar mejor los máximos y mínimos?
4. ¿Qué suposiciones subyacen en este modelo de ganancias?
5. ¿Cómo podría modificarse el modelo para reflejar mejor ganancias en diferentes escenarios de mercado?

**Tip:** La evaluación de derivadas y límites es fundamental para comprender el comportamiento de funciones complejas y determinar máximos y mínimos en economía.

Explore how to maximize profits using a rational function revenue model R(n) = 20 * (n - 24) / ((n - 25)^2 + n - 24). Learn about the range of n values resulting in negative profits and how to determine maximum and minimum profits. Suitable for college-level students and professionals.

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