Math Problem Statement

行列式で求めよ

Solution

行列を用いて問題を解いてみましょう。

  1. 行列による変換の表現:

    yy 軸方向に 3\sqrt{3} 倍する変換行列 AA は次のようになります:

    1 & 0 \\ 0 & \sqrt{3} \end{pmatrix}$$
  2. 元の曲線の行列形式:

    元の曲線の方程式 x2+3y2+23y=0x^2 + 3y^2 + 2\sqrt{3}y = 0 を行列形式で表します。曲線の方程式は次のように書き換えることができます:

    x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + 2\sqrt{3}y = 0$$ ここで、行列 $$B$$ を次のように定義します: $$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$$
  3. 変換行列の適用:

    変換行列 AA を適用して、新しい行列 BB' を求めます: B=ATBAB' = A^T B A

    ここで、ATA^TAA の転置行列です:

    1 & 0 \\ 0 & \sqrt{3} \end{pmatrix}$$ $$B'$$ を計算します: $$B' = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \sqrt{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \sqrt{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \sqrt{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3\sqrt{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}$$
  4. 新しい曲線の方程式:

    新しい行列 BB' を使って新しい曲線の方程式を書きます:

    x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + 2\sqrt{3}y = 0$$ これを展開すると: $$x^2 + 9y^2 + 2\sqrt{3}y = 0$$

したがって、yy 軸方向に 3\sqrt{3} 倍した曲線の新しい方程式は:

x2+9y2+23y=0x^2 + 9y^2 + 2\sqrt{3}y = 0

となります。

何かご質問や詳細の説明が必要ですか?以下の質問の中からお選びください:

  1. 他の変換についての質問
  2. 方程式のグラフの描き方について
  3. 曲線の別の特徴を求める方法について
  4. 変換の一般的な方法について
  5. この問題の別の解法について

ヒント: 行列を用いた変換は、多次元の線形代数の基礎的な技術であり、特に幾何学的変換において有効です。

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