行列を用いて問題を解いてみましょう。

1. **行列による変換の表現**:

   \( y \) 軸方向に \(\sqrt{3}\) 倍する変換行列 \( A \) は次のようになります：
   \[
   A = \begin{pmatrix}
   1 & 0 \\
   0 & \sqrt{3}
   \end{pmatrix}
   \]

2. **元の曲線の行列形式**:

   元の曲線の方程式 \( x^2 + 3y^2 + 2\sqrt{3}y = 0 \) を行列形式で表します。曲線の方程式は次のように書き換えることができます：
   \[
   \begin{pmatrix}
   x & y
   \end{pmatrix}
   \begin{pmatrix}
   1 & 0 \\
   0 & 3
   \end{pmatrix}
   \begin{pmatrix}
   x \\
   y
   \end{pmatrix}
   + 2\sqrt{3}y = 0
   \]

   ここで、行列 \( B \) を次のように定義します：
   \[
   B = \begin{pmatrix}
   1 & 0 \\
   0 & 3
   \end{pmatrix}
   \]

3. **変換行列の適用**:

   変換行列 \( A \) を適用して、新しい行列 \( B' \) を求めます：
   \[
   B' = A^T B A
   \]

   ここで、\( A^T \) は \( A \) の転置行列です：
   \[
   A^T = \begin{pmatrix}
   1 & 0 \\
   0 & \sqrt{3}
   \end{pmatrix}
   \]

   \( B' \) を計算します：
   \[
   B' = \begin{pmatrix}
   1 & 0 \\
   0 & \sqrt{3}
   \end{pmatrix}
   \begin{pmatrix}
   1 & 0 \\
   0 & 3
   \end{pmatrix}
   \begin{pmatrix}
   1 & 0 \\
   0 & \sqrt{3}
   \end{pmatrix}
   = \begin{pmatrix}
   1 & 0 \\
   0 & \sqrt{3}
   \end{pmatrix}
   \begin{pmatrix}
   1 & 0 \\
   0 & 3\sqrt{3}
   \end{pmatrix}
   = \begin{pmatrix}
   1 & 0 \\
   0 & 9
   \end{pmatrix}
   \]

4. **新しい曲線の方程式**:

   新しい行列 \( B' \) を使って新しい曲線の方程式を書きます：
   \[
   \begin{pmatrix}
   x & y
   \end{pmatrix}
   \begin{pmatrix}
   1 & 0 \\
   0 & 9
   \end{pmatrix}
   \begin{pmatrix}
   x \\
   y
   \end{pmatrix}
   + 2\sqrt{3}y = 0
   \]

   これを展開すると：
   \[
   x^2 + 9y^2 + 2\sqrt{3}y = 0
   \]

したがって、\( y \) 軸方向に \(\sqrt{3}\) 倍した曲線の新しい方程式は：

\[ x^2 + 9y^2 + 2\sqrt{3}y = 0 \]

となります。

何かご質問や詳細の説明が必要ですか？以下の質問の中からお選びください：

1. 他の変換についての質問
2. 方程式のグラフの描き方について
3. 曲線の別の特徴を求める方法について
4. 変換の一般的な方法について
5. この問題の別の解法について

**ヒント**: 行列を用いた変換は、多次元の線形代数の基礎的な技術であり、特に幾何学的変換において有効です。

Explore how matrices are used to solve equations through transformations. This example focuses on applying a matrix to a curve equation to achieve a transformation, demonstrating key concepts in linear algebra and matrix operations. Suitable for advanced high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation