Math Problem Statement
kan du visa följande radreducering steg för steg? 1 1 0 1 𝑏 1 𝑎 0 1 2 1 −1 ∼ · · · ∼ 1 1 0 0 1 1 0 0 𝑎 + 1 0 0 2 − 𝑏
Solution
Låt oss gå igenom radreduceringen steg för steg för matrisen:
1 & 1 & 0 \\ 1 & b & 1 \\ a & 0 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix}$$ Målet är att reducera den till: $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & a + 1 \\ 0 & 0 & 2 - b \end{pmatrix}$$ ### Steg 1: Subtrahera rad 1 från rad 2 och rad 4 Först vill vi eliminera första elementet i andra och fjärde raden (alltså göra dessa nollor). Detta görs genom att subtrahera rad 1 från dessa rader. - **Rad 2**: $$R_2 \rightarrow R_2 - R_1$$ $$(1, b, 1) - (1, 1, 0) = (0, b - 1, 1)$$ Nu är rad 2: $$(0, b - 1, 1)$$ - **Rad 4**: $$R_4 \rightarrow R_4 - 2R_1$$ $$(2, 1, -1) - 2(1, 1, 0) = (0, -1, -1)$$ Nu är rad 4: $$(0, -1, -1)$$ Matrisen ser nu ut så här: $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & b - 1 & 1 \\ a & 0 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}$$ ### Steg 2: Subtrahera $$a$$ gånger rad 1 från rad 3 Nästa steg är att eliminera första elementet i tredje raden. - **Rad 3**: $$R_3 \rightarrow R_3 - aR_1$$ $$(a, 0, 1) - a(1, 1, 0) = (0, -a, 1)$$ Nu är rad 3: $$(0, -a, 1)$$ Matrisen ser nu ut som: $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & b - 1 & 1 \\ 0 & -a & 1 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}$$ ### Steg 3: Gör $$b - 1$$ i rad 2 till 1 (om $$b - 1 \neq 0$$) Vi vill nu att det ledande elementet i rad 2 ska vara 1. Dividera hela rad 2 med $$b - 1$$ (förutsatt att $$b - 1 \neq 0$$): - **Rad 2**: $$R_2 \rightarrow \frac{R_2}{b - 1}$$ $$(0, b - 1, 1) \div (b - 1) = (0, 1, \frac{1}{b - 1})$$ Matrisen ser nu ut så här: $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{b - 1} \\ 0 & -a & 1 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}$$ ### Steg 4: Använd rad 2 för att eliminera elementen under den Vi använder nu rad 2 för att eliminera elementen under den, dvs göra elementen i tredje och fjärde raden i andra kolumnen till nollor. - **Rad 3**: $$R_3 \rightarrow R_3 + aR_2$$ $$(0, -a, 1) + a(0, 1, \frac{1}{b - 1}) = (0, 0, 1 + \frac{a}{b - 1}) = (0, 0, \frac{a + (b - 1)}{b - 1}) = (0, 0, \frac{a + 1}{b - 1})$$ Nu är rad 3: $$(0, 0, \frac{a + 1}{b - 1})$$ - **Rad 4**: $$R_4 \rightarrow R_4 + R_2$$ $$(0, -1, -1) + (0, 1, \frac{1}{b - 1}) = (0, 0, -1 + \frac{1}{b - 1}) = (0, 0, \frac{2 - b}{b - 1})$$ Nu är rad 4: $$(0, 0, \frac{2 - b}{b - 1})$$ ### Steg 5: Multiplicera tredje och fjärde raderna för att förenkla Slutligen multiplicerar vi rad 3 och rad 4 med $$b - 1$$ för att eliminera bråken: - **Rad 3**: $$R_3 \rightarrow (b - 1)R_3$$ $$(0, 0, \frac{a + 1}{b - 1}) \times (b - 1) = (0, 0, a + 1)$$ - **Rad 4**: $$R_4 \rightarrow (b - 1)R_4$$ $$(0, 0, \frac{2 - b}{b - 1}) \times (b - 1) = (0, 0, 2 - b)$$ Den slutliga matrisen ser ut så här: $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & a + 1 \\ 0 & 0 & 2 - b \end{pmatrix}$$ Detta är den önskade reducerade formen! --- Vill du ha fler detaljer eller har några frågor? ### Relaterade frågor: 1. Vad händer om $$b = 1$$ i detta fall? 2. Hur fungerar radreducering för större matriser, som 4x4 eller 5x5? 3. Vad är skillnaden mellan radreducering och Gauss-Jordaneliminering? 4. Kan man använda radreducering för att hitta inversen av en matris? 5. Hur tillämpas radreducering vid lösning av linjära ekvationssystem? ### Tips: När du radreducerar, se till att eliminera element i en ordnad sekvens, kolumn för kolumn, för att undvika misstag och dubbelarbete.Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Linear Algebra
Row Reduction
Matrices
Formulas
Row operations for matrix reduction
Leading one and zero elimination steps
Theorems
Gaussian Elimination
Row-Reduced Echelon Form (RREF)
Suitable Grade Level
Grade 9-12