gegeven is geordende basis B= standaardbasis, B'= v1=1,3 en v2 =-2,1 ook gegeven is de transformatie A tov de standaardbasis x,y--> -2x+7y,5x-12y. a) geef de transformatie A tov de standaardbasis

### Gegeven:

- **Standaardbasis \( B \):** \(\mathbf{e_1} = (1, 0)\) en \(\mathbf{e_2} = (0, 1)\).
- **Nieuwe basis \( B' \):** \( \mathbf{v_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} \) en \( \mathbf{v_2} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} \).
- **Transformatie \( A \) ten opzichte van de standaardbasis:** \( x,y \rightarrow (-2x + 7y, 5x - 12y) \).

### Oplossing:

1. **Transformatie \( A \) in matrixvorm ten opzichte van de standaardbasis:**

   \[
   A = \begin{pmatrix} -2 & 7 \\ 5 & -12 \end{pmatrix}
   \]

   Dit komt overeen met de transformatie:
   \[
   \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \rightarrow A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2x + 7y \\ 5x - 12y \end{pmatrix}
   \]

2. **Om de transformatie ten opzichte van de nieuwe basis \( B' \) te vinden, moeten we de matrix \( P \) bepalen die de standaardbasis naar de nieuwe basis transformeert:**

   \[
   P = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}
   \]

3. **De inverse van \( P \), \( P^{-1} \), is:**

   \[
   P^{-1} = \frac{1}{1(1) - (-2)(3)} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{7} & \frac{2}{7} \\ \frac{-3}{7} & \frac{1}{7} \end{pmatrix}
   \]

4. **De transformatie ten opzichte van de nieuwe basis \( B' \) is gegeven door:**

   \[
   A_{B'} = P^{-1} \cdot A \cdot P
   \]

   Dit is de matrixrepresentatie van de transformatie \( A \) ten opzichte van de basis \( B' \).

Wil je verdere details of heb je vragen? Hier zijn enkele vervolgvragen die relevant kunnen zijn:

1. Wat is de exacte berekening van \( A_{B'} \)?
2. Wat betekent de matrixrepresentatie ten opzichte van een andere basis?
3. Hoe interpreteer je de transformatie geometrisch?
4. Wat is het effect van de transformatie op een willekeurige vector in \( \mathbb{R}^2 \)?
5. Hoe beïnvloedt het veranderen van basis de coördinaten van vectoren?
6. Wat is de rol van de inverse matrix \( P^{-1} \) in deze berekening?
7. Kun je een voorbeeld geven van een vector en zijn beeld onder deze transformatie?
8. Hoe verandert de determinant van \( A \) wanneer je van basis verandert?

**Tip:** Bij het werken met lineaire transformaties is het belangrijk om goed te begrijpen hoe basisveranderingen werken en hoe ze de matrixrepresentatie van een transformatie beïnvloeden.

Understand how to represent a linear transformation from the standard basis to a new basis using matrix multiplication. Explore the calculation steps and the role of basis change in linear algebra. Suitable for university-level students studying linear transformations.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation