Gegeven:

• Standaardbasis $B$: $\mathbf{e_1} = (1, 0)$ en $\mathbf{e_2} = (0, 1)$.
• Nieuwe basis $B'$: $\mathbf{v_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ en $\mathbf{v_2} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$.
• Transformatie $A$ ten opzichte van de standaardbasis: $x,y \rightarrow (-2x + 7y, 5x - 12y)$.

Oplossing:

1. Transformatie $A$ in matrixvorm ten opzichte van de standaardbasis:

   $A = \begin{pmatrix} -2 & 7 \\ 5 & -12 \end{pmatrix}$

   Dit komt overeen met de transformatie: $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \rightarrow A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2x + 7y \\ 5x - 12y \end{pmatrix}$

2. Om de transformatie ten opzichte van de nieuwe basis $B'$ te vinden, moeten we de matrix $P$ bepalen die de standaardbasis naar de nieuwe basis transformeert:

   $P = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$

3. De inverse van $P$, $P^{-1}$, is:

   $P^{-1} = \frac{1}{1(1) - (-2)(3)} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{7} & \frac{2}{7} \\ \frac{-3}{7} & \frac{1}{7} \end{pmatrix}$

4. De transformatie ten opzichte van de nieuwe basis $B'$ is gegeven door:

   $A_{B'} = P^{-1} \cdot A \cdot P$

   Dit is de matrixrepresentatie van de transformatie $A$ ten opzichte van de basis $B'$.

Wil je verdere details of heb je vragen? Hier zijn enkele vervolgvragen die relevant kunnen zijn:

1. Wat is de exacte berekening van $A_{B'}$?
2. Wat betekent de matrixrepresentatie ten opzichte van een andere basis?
3. Hoe interpreteer je de transformatie geometrisch?
4. Wat is het effect van de transformatie op een willekeurige vector in $\mathbb{R}^2$?
5. Hoe beïnvloedt het veranderen van basis de coördinaten van vectoren?
6. Wat is de rol van de inverse matrix $P^{-1}$ in deze berekening?
7. Kun je een voorbeeld geven van een vector en zijn beeld onder deze transformatie?
8. Hoe verandert de determinant van $A$ wanneer je van basis verandert?

Tip: Bij het werken met lineaire transformaties is het belangrijk om goed te begrijpen hoe basisveranderingen werken en hoe ze de matrixrepresentatie van een transformatie beïnvloeden.