Найдем матрицу $C$, если $C = (AB + BA)^t$, где

$A = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 6 & 7 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}.$

Шаг 1: Найдем произведение $AB$

$AB = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 6 & 7 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}.$ Выполним матричное умножение: $AB_{11} = 5 \cdot 1 + 3 \cdot 2 = 5 + 6 = 11, \quad AB_{12} = 5 \cdot (-1) + 3 \cdot 3 = -5 + 9 = 4,$ $AB_{21} = 6 \cdot 1 + 7 \cdot 2 = 6 + 14 = 20, \quad AB_{22} = 6 \cdot (-1) + 7 \cdot 3 = -6 + 21 = 15.$ Получаем: $AB = \begin{pmatrix} 11 & 4 \\ 20 & 15 \end{pmatrix}.$

Шаг 2: Найдем произведение $BA$

$BA = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 6 & 7 \end{pmatrix}.$ Выполним матричное умножение: $BA_{11} = 1 \cdot 5 + (-1) \cdot 6 = 5 - 6 = -1, \quad BA_{12} = 1 \cdot 3 + (-1) \cdot 7 = 3 - 7 = -4,$ $BA_{21} = 2 \cdot 5 + 3 \cdot 6 = 10 + 18 = 28, \quad BA_{22} = 2 \cdot 3 + 3 \cdot 7 = 6 + 21 = 27.$ Получаем: $BA = \begin{pmatrix} -1 & -4 \\ 28 & 27 \end{pmatrix}.$

Шаг 3: Найдем сумму $AB + BA$

$AB + BA = \begin{pmatrix} 11 & 4 \\ 20 & 15 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 & -4 \\ 28 & 27 \end{pmatrix}.$ Выполним сложение поэлементно: $(AB + BA)_{11} = 11 + (-1) = 10, \quad (AB + BA)_{12} = 4 + (-4) = 0,$ $(AB + BA)_{21} = 20 + 28 = 48, \quad (AB + BA)_{22} = 15 + 27 = 42.$ Получаем: $AB + BA = \begin{pmatrix} 10 & 0 \\ 48 & 42 \end{pmatrix}.$

Шаг 4: Найдем транспонированную матрицу $C = (AB + BA)^t$

Транспонирование матрицы заключается в замене строк на столбцы: $C = \begin{pmatrix} 10 & 48 \\ 0 & 42 \end{pmatrix}.$

Ответ:

$C = \begin{pmatrix} 10 & 48 \\ 0 & 42 \end{pmatrix}.$

---

Есть ли у вас вопросы или нужно пояснить какие-то шаги?

Дополнительные вопросы:

1. Что такое транспонирование матрицы, и как оно влияет на элементы?
2. Каковы основные правила умножения матриц?
3. Какие свойства имеют симметричные матрицы?
4. Что происходит, если $A$ и $B$ неквадратные? Как тогда находить $AB + BA$?
5. Можно ли упростить процесс вычислений, если $A$ и $B$ обладают особенными свойствами (например, диагональность)?

Совет: Всегда проверяйте размерности матриц перед их умножением, чтобы убедиться, что операция определена.