Untuk membuktikan rumus penjumlahan $4 + 8 + 12 + 16 + \dots + 4n = 2n(n + 1)$ menggunakan induksi matematika, kita ikuti dua langkah utama: basis dan langkah induksi.

1. Basis Induksi (P(1))

Kita periksa kebenaran rumus untuk $n = 1$.

$\text{LHS} = 4 = 4$ $\text{RHS} = 2(1)(1 + 1) = 2(1)(2) = 4$

Jadi, untuk $n = 1$, rumus benar karena $\text{LHS} = \text{RHS}$.

2. Langkah Induksi (P(k) → P(k+1))

Asumsikan bahwa rumus benar untuk $n = k$, yaitu:

$4 + 8 + 12 + \dots + 4k = 2k(k + 1)$

Ini adalah hipotesis induksi. Sekarang, kita harus membuktikan bahwa rumus juga benar untuk $n = k + 1$, yaitu:

$4 + 8 + 12 + \dots + 4k + 4(k + 1) = 2(k + 1)((k + 1) + 1)$

Pertama, kita tambahkan suku $4(k + 1)$ ke persamaan yang diasumsikan benar untuk $n = k$:

$4 + 8 + 12 + \dots + 4k + 4(k + 1) = 2k(k + 1) + 4(k + 1)$

Faktorkan $4(k + 1)$ dari sisi kanan:

$= (2k + 4)(k + 1)$ $= 2(k + 1)(k + 2)$

Ini adalah bentuk yang kita inginkan untuk $n = k + 1$.

Kesimpulan:

Karena hipotesis induksi terbukti benar untuk $n = k + 1$, maka dengan induksi matematika, rumus $4 + 8 + 12 + \dots + 4n = 2n(n + 1)$ benar untuk semua bilangan bulat positif $n$.

---

Apakah Anda ingin penjelasan lebih detail atau ada pertanyaan terkait langkah-langkahnya? Berikut adalah 5 pertanyaan terkait untuk memperdalam pemahaman:

1. Bagaimana cara menyusun rumus induksi untuk penjumlahan deret lainnya?
2. Apa yang terjadi jika kita ubah faktor pengali dari 4 menjadi bilangan lain, misalnya 3?
3. Dapatkah induksi digunakan untuk membuktikan rumus integral atau turunan dalam kalkulus?
4. Apa peran "basis induksi" dalam memastikan kebenaran rumus?
5. Bagaimana cara mengatasi kesulitan dalam menyederhanakan ekspresi aljabar di langkah induksi?

Tip: Saat menggunakan induksi matematika, pastikan bahwa langkah basis sudah terbukti dengan jelas, karena ini memastikan validitas seluruh pembuktian.