Untuk membuktikan pernyataan tersebut menggunakan induksi matematika, kita akan melalui dua langkah utama: basis dan langkah induksi.

Pernyataan yang harus dibuktikan: Diberikan satu set bilangan bulat positif yang terdiri dari $n+1$ elemen, dan setiap elemen bilangan tersebut tidak lebih dari 21, maka terdapat paling sedikit satu bilangan bulat dalam set tersebut yang dapat membagi bilangan bulat lain dalam set tersebut.

Langkah-langkah pembuktian:

1. Basis Induksi (n = 1)

Kita mulai dengan set yang hanya terdiri dari 2 elemen ($n+1 = 2$).

Misalkan kita punya dua bilangan bulat positif dalam set tersebut: $a$ dan $b$, dengan $a, b \leq 21$. Kemungkinan:

• Jika $a = b$, jelas $a$ dapat membagi $b$.
• Jika $a \neq b$, salah satu bilangan adalah faktor dari yang lain jika $a$ atau $b$ adalah pembagi dari yang lain.

Dalam kedua kasus, pernyataan tersebut benar untuk $n = 1$.

2. Langkah Induksi

Sekarang kita asumsikan pernyataan tersebut benar untuk $n$, yaitu: setiap himpunan yang terdiri dari $n+1$ bilangan bulat positif yang tidak melebihi 21 mengandung paling sedikit satu bilangan yang dapat membagi bilangan lain di dalam himpunan tersebut.

Selanjutnya, kita akan membuktikan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk $n+1$, yaitu untuk set yang berisi $n+2$ bilangan bulat positif yang tidak melebihi 21.

Misalkan kita memiliki sebuah himpunan $S$ yang terdiri dari $n+2$ bilangan bulat positif yang tidak lebih dari 21. Karena ada $n+2$ bilangan bulat yang semuanya tidak melebihi 21, dan karena hanya ada 21 bilangan bulat positif (dari 1 hingga 21), maka menurut prinsip pigeonhole atau laci, minimal dua bilangan dalam himpunan tersebut memiliki nilai yang sama dalam bentuk faktornya atau kelipatan faktor.

Secara lebih formal, untuk setiap dua bilangan $a$ dan $b$ dalam himpunan $S$, salah satu di antara $a$ atau $b$ dapat membagi yang lain (karena $a \leq 21$ dan $b \leq 21$, serta jumlah bilangan terbatas). Jika kita mengeluarkan salah satu dari mereka, kita tetap memiliki $n+1$ bilangan, dan berdasarkan asumsi induksi, salah satu dari bilangan tersebut pasti dapat membagi bilangan lain.

Jadi, untuk $n+2$, kita bisa menyimpulkan bahwa himpunan tersebut juga akan memiliki minimal satu bilangan yang dapat membagi bilangan lain.

3. Kesimpulan

Dengan demikian, berdasarkan basis induksi dan langkah induksi, kita telah membuktikan bahwa untuk setiap himpunan bilangan bulat positif berukuran $n+1$, yang tidak melebihi 21, pasti terdapat paling sedikit satu bilangan bulat yang dapat membagi bilangan bulat lain dalam himpunan tersebut.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan tentang langkah-langkah ini?

5 Pertanyaan yang relevan:

1. Bagaimana prinsip pigeonhole digunakan dalam konteks ini?
2. Apa perbedaan antara induksi matematika dan metode pembuktian lain?
3. Bagaimana jika batas atas bilangan bukan 21, melainkan angka lain?
4. Bisakah ada lebih dari satu pasangan bilangan yang saling membagi dalam set tersebut?
5. Apakah ada aplikasi lain dari prinsip pigeonhole dalam kombinatorika?

Tip: Saat melakukan pembuktian induksi matematika, selalu pastikan langkah basis dan langkah induksi jelas, karena keduanya mendasari kekuatan pembuktian keseluruhan.