
В группе из 25 студентов лингвистов 12 изучают греческий, 10 - латынь и 9 - санскрит. Каждые два языка изучает ровно три студента. Сколько студентов изучают все три языка?

Давайте обозначим:

- \( G \) — количество студентов, изучающих греческий язык.
- \( L \) — количество студентов, изучающих латынь.
- \( S \) — количество студентов, изучающих санскрит.
- \( x \) — количество студентов, изучающих все три языка.
- \( y \) — количество студентов, изучающих ровно два языка.

По условию задачи:

- \( G = 12 \)
- \( L = 10 \)
- \( S = 9 \)
- \( y = 3 \) (так как каждые два языка изучает ровно три студента).

Необходимо найти \( x \) — количество студентов, изучающих все три языка.

### Шаг 1: Используем принцип включения-исключения

Сначала найдем количество студентов, которые изучают хотя бы один язык.

По принципу включения-исключения:

\[
n(G \cup L \cup S) = G + L + S - n(G \cap L) - n(G \cap S) - n(L \cap S) + n(G \cap L \cap S)
\]

Здесь:

- \( n(G \cap L) = 3 \)
- \( n(G \cap S) = 3 \)
- \( n(L \cap S) = 3 \)
- \( n(G \cap L \cap S) = x \)

Подставим значения:

\[
n(G \cup L \cup S) = 12 + 10 + 9 - 3 - 3 - 3 + x
\]

Упростим выражение:

\[
n(G \cup L \cup S) = 28 - 9 + x = 19 + x
\]

### Шаг 2: Применим условие о количестве студентов в группе

Так как общее количество студентов в группе равно 25, имеем:

\[
n(G \cup L \cup S) = 25
\]

Подставим значение:

\[
19 + x = 25
\]

Отсюда находим \( x \):

\[
x = 25 - 19 = 6
\]

### Ответ

6 студентов изучают все три языка.

---

**Хотите узнать больше или у вас есть вопросы?**

**Вот несколько вопросов для дальнейшего изучения:**

1. Как изменится ответ, если число студентов, изучающих два языка, увеличится?
2. Можем ли мы использовать тот же принцип для четырёх языков?
3. Как изменится решение, если бы изучалось разное количество студентов, изучающих два языка?
4. Как использовать диаграмму Венна для визуализации этой задачи?
5. Как можно изменить условия задачи, чтобы использовать больше математических понятий, например, вероятности?

**Совет:** Всегда старайтесь визуализировать задачу с помощью диаграммы Венна для лучшего понимания пересечений и объединений множеств.

Explore a math problem involving set theory and the inclusion-exclusion principle. Find out how many students in a group of 25 linguistics students study all three languages: Greek, Latin, and Sanskrit.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation