Для нахождения массы участка кривой, заданной параметрическими уравнениями $\mathbf{r}(t) = (x(t), y(t), z(t))$, с плотностью $\rho(x, y, z)$, используем формулу:
$M = \int_{t_1}^{t_2} \rho(x(t), y(t), z(t)) \|\mathbf{r}'(t)\| dt,$ где $\|\mathbf{r}'(t)\|$ — длина вектора скорости, а $\rho(x, y, z)$ — плотность в зависимости от координат.

Даны параметры:
$x(t) = e^t, \quad y(t) = e^{-t}, \quad z(t) = \sqrt{2}t, \quad \rho(x, y, z) = \sqrt{2}xyz, \quad t \in [0, 2].$

1. Найдём производные координат:

$x'(t) = e^t, \quad y'(t) = -e^{-t}, \quad z'(t) = \sqrt{2}.$

2. Вычислим длину вектора скорости:

$\|\mathbf{r}'(t)\| = \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2}.$ Подставляем производные: $\|\mathbf{r}'(t)\| = \sqrt{(e^t)^2 + (-e^{-t})^2 + (\sqrt{2})^2}.$ Упростим выражение: $\|\mathbf{r}'(t)\| = \sqrt{e^{2t} + e^{-2t} + 2}.$

3. Подставим плотность $\rho(x, y, z)$:

$\rho(x, y, z) = \sqrt{2}xyz = \sqrt{2}(e^t)(e^{-t})(\sqrt{2}t) = 2t.$

4. Масса участка кривой:

$M = \int_0^2 \rho(x(t), y(t), z(t)) \|\mathbf{r}'(t)\| dt = \int_0^2 2t \sqrt{e^{2t} + e^{-2t} + 2} \, dt.$

Это выражение не имеет элементарного интеграла, поэтому требуется численное вычисление. Хотите, чтобы я продолжил и вычислил значение?