Tarkastellaan annettua parametrista käyrää $\gamma(t) = (e^t \cos t, e^t \sin t, e^t)$, jossa $t \in [0, 1]$.

Käyrän pituus lasketaan kaavalla:

$L = \int_a^b \|\gamma'(t)\| \, dt$

Missä $\gamma'(t)$ on käyrän johdannainen ja $\|\gamma'(t)\|$ on sen pituus. Lasketaan siis ensin $\gamma'(t)$.

1. Derivointi

$\gamma(t) = (e^t \cos t, e^t \sin t, e^t)$, joten derivointia tehdään komponenttikohtaisesti:

• Ensimmäinen komponentti: $\frac{d}{dt}(e^t \cos t) = e^t \cos t - e^t \sin t$

• Toinen komponentti: $\frac{d}{dt}(e^t \sin t) = e^t \sin t + e^t \cos t$

• Kolmas komponentti: $\frac{d}{dt}(e^t) = e^t$

Näin ollen: $\gamma'(t) = (e^t (\cos t - \sin t), e^t (\sin t + \cos t), e^t)$

2. Pituuden laskeminen

Seuraavaksi lasketaan $\|\gamma'(t)\|$:

$\|\gamma'(t)\| = \sqrt{(e^t (\cos t - \sin t))^2 + (e^t (\sin t + \cos t))^2 + (e^t)^2}$

Jatkamme laskemista:

$\|\gamma'(t)\| = \sqrt{e^{2t} \left[ (\cos t - \sin t)^2 + (\sin t + \cos t)^2 + 1 \right]}$

Laajennetaan neliöt:

$(\cos t - \sin t)^2 = \cos^2 t - 2 \cos t \sin t + \sin^2 t$ $(\sin t + \cos t)^2 = \sin^2 t + 2 \cos t \sin t + \cos^2 t$

Koska $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$, saamme:

$(\cos t - \sin t)^2 + (\sin t + \cos t)^2 = 1 - 2 \cos t \sin t + 1 + 2 \cos t \sin t = 2$

Siis:

$\|\gamma'(t)\| = \sqrt{e^{2t} (2 + 1)} = \sqrt{3 e^{2t}} = \sqrt{3} e^t$

3. Integraali pituuden laskemiseksi

Käyrän pituus on siis:

$L = \int_0^1 \|\gamma'(t)\| \, dt = \int_0^1 \sqrt{3} e^t \, dt$

Ratkaistaan tämä yksinkertainen integraali:

$L = \sqrt{3} \int_0^1 e^t \, dt = \sqrt{3} \left[ e^t \right]_0^1 = \sqrt{3} (e^1 - e^0) = \sqrt{3} (e - 1)$

Vastaus

Käyrän pituus on siis:

$L = \sqrt{3} (e - 1)$

Jos haluat tarkempia selityksiä tai lisäkysymyksiä, ole hyvä ja kerro!

Liittyvät kysymykset:

1. Miten lasketaan käyrän pituus, kun parametrisointi on eri kuin tämä?
2. Mikä on käyrän pituus kolmessa ulottuvuudessa, jos sen parametrisointi on esimerkiksi spiraali?
3. Miten käyrän pituus muuttuu, jos parametrisointi sisältää trigonometristen funktioiden yhdistelmiä?
4. Mikä on käyrän pituus, jos se on suora viiva?
5. Miten määritellään käyrän pituus korkeammissa ulottuvuuksissa?

Vinkki

Käyrän pituuden laskemisessa on tärkeää muistaa, että komponenttien derivaatat lasketaan erikseen ja niiden neliöiden summa otetaan ennen integraalin laskemista.