Laske sen käyrän  pituus, jonka parametrisointi on γ: [0,1] →R, γ(t)= (e^t cos t,e^t sin t,e^t).
Kommentti: Jos laskee oikein, niin integraalista ei tule vaikea.

Tarkastellaan annettua parametrista käyrää \(\gamma(t) = (e^t \cos t, e^t \sin t, e^t)\), jossa \(t \in [0, 1]\).

Käyrän pituus lasketaan kaavalla:

\[
L = \int_a^b \|\gamma'(t)\| \, dt
\]

Missä \(\gamma'(t)\) on käyrän johdannainen ja \(\|\gamma'(t)\|\) on sen pituus. Lasketaan siis ensin \(\gamma'(t)\).

### 1. Derivointi
\(\gamma(t) = (e^t \cos t, e^t \sin t, e^t)\), joten derivointia tehdään komponenttikohtaisesti:

- Ensimmäinen komponentti: 
\[
\frac{d}{dt}(e^t \cos t) = e^t \cos t - e^t \sin t
\]

- Toinen komponentti:
\[
\frac{d}{dt}(e^t \sin t) = e^t \sin t + e^t \cos t
\]

- Kolmas komponentti:
\[
\frac{d}{dt}(e^t) = e^t
\]

Näin ollen:
\[
\gamma'(t) = (e^t (\cos t - \sin t), e^t (\sin t + \cos t), e^t)
\]

### 2. Pituuden laskeminen
Seuraavaksi lasketaan \(\|\gamma'(t)\|\):

\[
\|\gamma'(t)\| = \sqrt{(e^t (\cos t - \sin t))^2 + (e^t (\sin t + \cos t))^2 + (e^t)^2}
\]

Jatkamme laskemista:

\[
\|\gamma'(t)\| = \sqrt{e^{2t} \left[ (\cos t - \sin t)^2 + (\sin t + \cos t)^2 + 1 \right]}
\]

Laajennetaan neliöt:

\[
(\cos t - \sin t)^2 = \cos^2 t - 2 \cos t \sin t + \sin^2 t
\]
\[
(\sin t + \cos t)^2 = \sin^2 t + 2 \cos t \sin t + \cos^2 t
\]

Koska \(\cos^2 t + \sin^2 t = 1\), saamme:

\[
(\cos t - \sin t)^2 + (\sin t + \cos t)^2 = 1 - 2 \cos t \sin t + 1 + 2 \cos t \sin t = 2
\]

Siis:

\[
\|\gamma'(t)\| = \sqrt{e^{2t} (2 + 1)} = \sqrt{3 e^{2t}} = \sqrt{3} e^t
\]

### 3. Integraali pituuden laskemiseksi
Käyrän pituus on siis:

\[
L = \int_0^1 \|\gamma'(t)\| \, dt = \int_0^1 \sqrt{3} e^t \, dt
\]

Ratkaistaan tämä yksinkertainen integraali:

\[
L = \sqrt{3} \int_0^1 e^t \, dt = \sqrt{3} \left[ e^t \right]_0^1 = \sqrt{3} (e^1 - e^0) = \sqrt{3} (e - 1)
\]

### Vastaus
Käyrän pituus on siis:

\[
L = \sqrt{3} (e - 1)
\]

Jos haluat tarkempia selityksiä tai lisäkysymyksiä, ole hyvä ja kerro! 

### Liittyvät kysymykset:
1. Miten lasketaan käyrän pituus, kun parametrisointi on eri kuin tämä?
2. Mikä on käyrän pituus kolmessa ulottuvuudessa, jos sen parametrisointi on esimerkiksi spiraali?
3. Miten käyrän pituus muuttuu, jos parametrisointi sisältää trigonometristen funktioiden yhdistelmiä?
4. Mikä on käyrän pituus, jos se on suora viiva?
5. Miten määritellään käyrän pituus korkeammissa ulottuvuuksissa?

### Vinkki
Käyrän pituuden laskemisessa on tärkeää muistaa, että komponenttien derivaatat lasketaan erikseen ja niiden neliöiden summa otetaan ennen integraalin laskemista.

Laske sen käyrän pituus, jonka parametrisointi on γ: [0,1] →R, γ(t)= (e^t cos t,e^t sin t,e^t).

Learn how to calculate the length of a parametric curve γ(t) = (e^t cos t, e^t sin t, e^t) over the interval [0,1]. This problem involves calculus concepts such as curve length, vector derivatives, and parametric equations. A step-by-step solution is provided, making it suitable for university-level students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation