Per calcular la massa del filferro que segueix la corba d'intersecció entre l'esfera $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ i el pla $x + z = 0$, amb una densitat $\rho(x, y, z) = x^2$, seguirem els passos següents:

1. Determinació de la corba d'intersecció

La corba d'intersecció ve donada per la intersecció entre l'esfera $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ i el pla $x + z = 0$. Això implica que: $z = -x$ Substituïm aquesta relació en l'equació de l'esfera: $x^2 + y^2 + (-x)^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad 2x^2 + y^2 = 1$ Aquesta equació descriu l'equació d'una el·lipsi en el pla $xz$.

2. Parametrització de la corba

Podem parametritzar la corba utilitzant $t$ com a paràmetre, de manera que: $x = \cos t, \quad y = \sin t, \quad z = -\cos t$ Aquesta parametrització satisfà tant l'equació del pla com la de l'esfera.

3. Càlcul de la massa

La massa del filferro es pot calcular utilitzant la següent expressió: $M = \int_C \rho(x, y, z) \, ds$ On $\rho(x, y, z) = x^2$ i $ds$ és l'element de longitud de la corba. L'element de longitud $ds$ es pot calcular com: $ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dz}{dt}\right)^2} \, dt$ Derivem cada component respecte a $t$: $\frac{dx}{dt} = -\sin t, \quad \frac{dy}{dt} = \cos t, \quad \frac{dz}{dt} = \sin t$ Així doncs: $ds = \sqrt{(-\sin t)^2 + (\cos t)^2 + (\sin t)^2} \, dt = \sqrt{\sin^2 t + \cos^2 t + \sin^2 t} \, dt = \sqrt{1 + \sin^2 t} \, dt$

4. Càlcul final

La massa es calcula integrant la densitat sobre la corba, utilitzant la parametrització trobada: $M = \int_0^{2\pi} \cos^2 t \cdot \sqrt{1 + \sin^2 t} \, dt$ Aquest és l'integral que cal resoldre per obtenir la massa del filferro.

Aquest integral és força complicat i pot requerir tècniques numèriques per a la seva resolució. Si voleu, puc calcular-lo aproximadament per a donar una resposta numèrica.

---

Tens algun dubte o vols més detalls sobre els passos?

Aquí tens 5 preguntes relacionades:

1. Com es pot simplificar un integral com aquest per facilitar el càlcul?
2. Com afecta la densitat variable al càlcul de la massa d'un objecte?
3. Quin paper juga la parametrització en aquest tipus de problemes?
4. Com es calcula el vector tangent a una corba a partir de la seva parametrització?
5. Per què utilitzem tècniques numèriques per resoldre certs integrals?

Tip: En geometria diferencial, parametritzar corbes i superfícies és fonamental per resoldre problemes que involucren longituds, àrees i volums.