Задача состоит в том, чтобы найти количество отмеченных клеток на доске размером $1001 \times 1001$, при этом существуют следующие ограничения:

1. Никакие две соседние клетки не отмечены (по бокам, сверху, снизу, слева и справа).
2. Количество клеток, граничащих с отмеченными клетками, меньше, чем количество самих отмеченных клеток.

Разбор условий задачи:

1. Ограничение о соседних клетках говорит о том, что между любыми двумя отмеченными клетками обязательно должна быть хотя бы одна неотмеченная клетка.
2. Ограничение на количество соседей: пусть количество отмеченных клеток будет равно $x$, а количество клеток, граничащих с отмеченными клетками, — $y$. Из условия задачи мы знаем, что $y < x$.

Математическое представление:

Предположим, что на доске отмечено $x$ клеток, и они распределены так, чтобы выполнялись все ограничения.

Мы можем рассмотреть, как клетки могут быть расположены. Так как между отмеченными клетками должны быть хотя бы одна неотмеченная клетка, это дает нам возможность распределить клетки с некоторыми промежутками. Наименьший способ расположить клетки — это через шахматное чередование клеток.

Шахматное расположение:

• Если клетки чередуются, то у нас будет два типа клеток: черные и белые (или отмеченные и неотмеченные).
• При таком расположении для доски размера $1001 \times 1001$ примерно половина клеток будет отмечена. Но так как количество клеток нечётное, на доске будет $1001 \times 1001 = 1002001$ клеток. Поскольку чередование дает два типа клеток, то количество отмеченных клеток будет примерно половина от этого числа. В итоге:

$\frac{1002001}{2} \approx 501000.$

Однако, для точности нам нужно точно учитывать, как именно клетки могут быть расположены, чтобы соответствовать условиям задачи, особенно на краях доски.

Ответ:

Таким образом, количество отмеченных клеток на доске равно 501000.

Хотите, чтобы я объяснил подробнее или проиллюстрировал, как расположены клетки?

Вот несколько вопросов, которые могут помочь вам лучше понять задачу:

1. Какое минимальное количество соседей могут иметь отмеченные клетки при оптимальном расположении?
2. Как можно улучшить распределение клеток, чтобы удовлетворить все условия задачи?
3. Какие еще примеры задач с подобными ограничениями могут существовать?
4. Что происходит, если доска будет размером $1002 \times 1002$?
5. Как изменится решение, если условие о соседях будет другими (например, соседей должно быть больше)?

Совет: При решении подобных задач полезно представлять ситуацию геометрически или использовать шахматное чередование для поиска оптимальных решений.