Para resolver este problema, vamos a integrar la función de ingreso marginal para encontrar la función ingreso total (R(x)) y luego determinar el precio unitario (p). Recordemos que la relación entre ingreso total, precio y demanda está dada por:
$R(x) = p(x) \cdot x$ donde $p(x)$ es el precio unitario.

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Paso 1: Integrar el ingreso marginal para encontrar el ingreso total

La función de ingreso marginal es: $\frac{dR}{dx} = 100 - 3x^2$

Para encontrar la función de ingreso total $R(x)$, integramos: $R(x) = \int (100 - 3x^2) \, dx$

Realizamos la integración: $R(x) = 100x - x^3 + C$ donde $C$ es la constante de integración.

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Paso 2: Determinar la constante de integración $C$

Sin información adicional sobre los ingresos iniciales, dejaremos $C$ como una constante general por ahora. La función de ingreso total queda como: $R(x) = 100x - x^3 + C$

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Paso 3: Encontrar el precio unitario $p$ para $x = 5$

Sabemos que: $R(x) = p(x) \cdot x$ Por lo tanto, el precio unitario se obtiene al dividir el ingreso total entre las unidades vendidas: $p(x) = \frac{R(x)}{x}$

Para $x = 5$, primero evaluamos el ingreso total: $R(5) = 100(5) - (5)^3 + C = 500 - 125 + C = 375 + C$

Entonces, el precio unitario será: $p(5) = \frac{R(5)}{5} = \frac{375 + C}{5}$

Sin conocer $C$, el precio unitario queda en términos de la constante: $p(5) = 75 + \frac{C}{5}$

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Conclusión

El precio unitario del producto al vender $x = 5$ unidades es: $p(5) = 75 + \frac{C}{5}$ Para un valor específico de $C$, se puede ajustar esta fórmula. Sin información adicional sobre el ingreso total en algún punto, la constante no se puede determinar.

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¿Te gustaría que exploremos otra parte del problema o resolverlo con alguna suposición sobre $C$?

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Preguntas relacionadas:

1. ¿Qué sucede si $C = 0$? ¿Cuál sería el precio unitario en ese caso?
2. ¿Cómo cambia el ingreso marginal a medida que aumentan las unidades vendidas?
3. ¿Qué interpretación económica tiene la constante $C$ en esta función?
4. ¿Cómo se maximiza el ingreso total? ¿En qué punto se iguala el ingreso marginal a cero?
5. ¿Qué impacto tendría un cambio en la demanda sobre el precio unitario?

Tip: Integrar la función de ingreso marginal nos da una forma más completa del comportamiento del ingreso total, lo cual es clave para fijar precios estratégicamente.