بله، پاسخ سوال به صورت ریاضی به ترتیب مراحل پشت سر هم به این صورت است:

1. تعریف ناحیه در صفحه مختلط:

   $e^2 \leq x^2 + y^2 \leq e^4 \quad \text{و} \quad y \geq 0$

2. نگاشت $w = \ln(z)$:

   • در فرم قطبی: $z = re^{i\theta}$
   • اعمال نگاشت: $w = \ln(z) = \ln(r) + i\theta$

3. تعیین حدود $r$ و $\theta$:

   • از ناحیه داده شده: $e \leq r \leq e^2 \quad \text{و} \quad 0 \leq \theta \leq \pi$

4. تبدیل شعاع‌ها تحت نگاشت:

   • برای $r$: $\ln(e) \leq \ln(r) \leq \ln(e^2)$
   • ساده‌سازی: $1 \leq \ln(r) \leq 2$

5. نتیجه نهایی نگاشت:

   • تصویر ناحیه تحت نگاشت: $1 \leq \text{Re}(w) \leq 2$ و $0 \leq \text{Im}(w) \leq \pi$

بنابراین، تصویر ناحیه $e^2 \leq x^2 + y^2 \leq e^4$ در بالای محور $x$ها تحت نگاشت $w = \ln(z)$ یک مستطیل است که در آن:

$1 \leq \text{Re}(w) \leq 2$ و $0 \leq \text{Im}(w) \leq \pi$