میشه جواب رو فقط به صورت ریاضی پشت سر هم بنویسی

بله، پاسخ سوال به صورت ریاضی به ترتیب مراحل پشت سر هم به این صورت است:

1. **تعریف ناحیه در صفحه مختلط:**

   \[
   e^2 \leq x^2 + y^2 \leq e^4 \quad \text{و} \quad y \geq 0
   \]

2. **نگاشت \( w = \ln(z) \):**
   - در فرم قطبی:
     \[
     z = re^{i\theta}
     \]
   - اعمال نگاشت:
     \[
     w = \ln(z) = \ln(r) + i\theta
     \]

3. **تعیین حدود \( r \) و \( \theta \):**
   - از ناحیه داده شده:
     \[
     e \leq r \leq e^2 \quad \text{و} \quad 0 \leq \theta \leq \pi
     \]

4. **تبدیل شعاع‌ها تحت نگاشت:**
   - برای \( r \):
     \[
     \ln(e) \leq \ln(r) \leq \ln(e^2)
     \]
   - ساده‌سازی:
     \[
     1 \leq \ln(r) \leq 2
     \]

5. **نتیجه نهایی نگاشت:**
   - تصویر ناحیه تحت نگاشت:
     \[
     1 \leq \text{Re}(w) \leq 2
     \]
     و
     \[
     0 \leq \text{Im}(w) \leq \pi
     \]

بنابراین، تصویر ناحیه \( e^2 \leq x^2 + y^2 \leq e^4 \) در بالای محور \( x \)ها تحت نگاشت \( w = \ln(z) \) یک مستطیل است که در آن:

\[ 1 \leq \text{Re}(w) \leq 2 \]
و
\[ 0 \leq \text{Im}(w) \leq \pi \]

Explore the detailed mathematical solution involving the mapping of a complex region using logarithmic functions. This problem covers complex analysis concepts, including the application of logarithmic mapping in the complex plane. Suitable for higher education level students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation