Untuk menyelesaikan persamaan $\frac{3a}{4} - \sin(\alpha) + \frac{\sin(2\alpha)}{8}$ dengan $|a| \leq 0.2$ menggunakan deret Maclaurin, kita akan melakukan pendekatan dengan mengembangkan fungsi $\sin(\alpha)$ dan $\sin(2\alpha)$ menjadi deret Maclaurin.

Deret Maclaurin untuk $\sin(x)$:

$\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$

Deret Maclaurin untuk $\sin(2x)$:

$\sin(2x) = 2x - \frac{(2x)^3}{3!} + \frac{(2x)^5}{5!} - \dots$

Mari kita substitusi nilai-nilai ini ke dalam persamaan. Kita mulai dari pengembangan masing-masing:

1. Pengembangan untuk $\sin(\alpha)$: $\sin(\alpha) = \alpha - \frac{\alpha^3}{6} + \frac{\alpha^5}{120} - \dots$

2. Pengembangan untuk $\sin(2\alpha)$: $\sin(2\alpha) = 2\alpha - \frac{8\alpha^3}{6} + \frac{32\alpha^5}{120} - \dots$ Dengan menyederhanakan: $\sin(2\alpha) = 2\alpha - \frac{4\alpha^3}{3} + \frac{8\alpha^5}{15} - \dots$

Sekarang kita substitusi ke dalam persamaan awal $\frac{3a}{4} - \sin(\alpha) + \frac{\sin(2\alpha)}{8}$:

$\frac{3a}{4} - \left(\alpha - \frac{\alpha^3}{6} + \frac{\alpha^5}{120}\right) + \frac{1}{8}\left(2\alpha - \frac{4\alpha^3}{3} + \frac{8\alpha^5}{15}\right)$

Menyederhanakan:

$= \frac{3a}{4} - \alpha + \frac{\alpha^3}{6} - \frac{\alpha^5}{120} + \frac{\alpha}{4} - \frac{\alpha^3}{6} + \frac{\alpha^5}{15}$

Dengan menyederhanakan lebih lanjut:

$= \frac{3a}{4} - \frac{3\alpha}{4} + \left( \frac{\alpha^5}{15} - \frac{\alpha^5}{120} \right)$

Hasil akhirnya adalah persamaan dalam bentuk yang lebih sederhana: $\frac{3}{4}(a - \alpha) + \frac{7\alpha^5}{120}$

Jika Anda ingin melanjutkan untuk memasukkan nilai numerik $a$ dan $\alpha$ dalam batasan yang diberikan atau menghitung nilai spesifik, silakan berikan informasi lebih lanjut!

Adakah yang ingin Anda tanyakan? Berikut 5 pertanyaan terkait:

1. Apakah Anda ingin saya menghitung hasil untuk nilai tertentu dari $a$ dan $\alpha$?
2. Apakah Anda tertarik untuk mempelajari lebih dalam tentang deret Maclaurin dan aplikasinya?
3. Ingin saya tunjukkan langkah-langkah detail dari setiap proses simplifikasi?
4. Apakah Anda ingin mengeksplor lebih banyak contoh penerapan deret Taylor dan Maclaurin?
5. Ingin tahu bagaimana deret Maclaurin digunakan dalam fisika atau teknik?

Tip: Deret Maclaurin adalah kasus khusus dari deret Taylor yang dikembangkan di sekitar titik $x = 0$.