Пусть производственная функция имеет вид: Q = 2K+L. w=2, r=1. Выведите функцию издержек в долгосрочном периоде, в ответ запишите значение издержек при Q=2

Производственная функция имеет вид \( Q = 2K + L \), где \( K \) — капитал, а \( L \) — труд. Цены факторов производства: \( w = 2 \) (цена труда) и \( r = 1 \) (цена капитала).

Для долгосрочного периода задача состоит в минимизации издержек при производстве заданного объема продукции \( Q \), то есть:

\[
C = wL + rK
\]

Заменим \( w \) и \( r \) их значениями:

\[
C = 2L + K
\]

Производственная функция \( Q = 2K + L \), выражаем \( L \) через \( K \):

\[
L = Q - 2K
\]

Подставляем \( L = Q - 2K \) в функцию издержек:

\[
C = 2(Q - 2K) + K = 2Q - 4K + K = 2Q - 3K
\]

Теперь минимизируем издержки по \( K \). Для этого возьмём производную функции издержек по \( K \) и приравняем её к нулю:

\[
\frac{dC}{dK} = -3 = 0
\]

Из этого видно, что для минимизации издержек капитал должен быть нулевым, то есть \( K = 0 \).

Теперь подставляем \( K = 0 \) в производственную функцию:

\[
Q = 2(0) + L \Rightarrow L = Q
\]

Таким образом, при минимальных издержках всё производство должно основываться на труде: \( L = Q \).

Подставляем это в функцию издержек:

\[
C = 2L + K = 2Q
\]

Функция издержек в долгосрочном периоде: 

\[
C(Q) = 2Q
\]

Теперь подставим \( Q = 2 \) в эту функцию:

\[
C(2) = 2 \times 2 = 4
\]

Ответ: при \( Q = 2 \) издержки составляют \( 4 \).

### Хотите подробностей или есть вопросы?

### Связанные вопросы:
1. Как изменить издержки, если изменятся цены на факторы производства \( w \) и \( r \)?
2. Как найти оптимальное сочетание труда и капитала для другой производственной функции?
3. Что произойдёт с издержками в краткосрочном периоде?
4. Как изменится функция издержек, если потребуется минимальный уровень капитала?
5. Можно ли использовать другой метод для нахождения минимальных издержек?

### Совет:
Для анализа издержек важно всегда учитывать специфику долгосрочного и краткосрочного периода, так как в краткосрочном периоде один из факторов может быть фиксирован.

Пусть производственная функция имеет вид: Q = 2K+L. w=2, r=1. Выведите функцию издержек в долгосрочном периоде, в ответ запишите значение издержек при Q=2.

Learn how to calculate the long-run cost function based on the production function Q = 2K + L, where w = 2 and r = 1. Includes detailed steps to derive the cost function and find the costs when Q = 2. Suitable for undergraduate economics or mathematics students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation