Paso 1: Relación de la función $f(x) = \log_a (x - b)$

Sabemos que:

1. $f(x) = \log_a (x - b)$
2. $f(6) = -2$
3. El dominio de $f(x)$ es $(2, \infty)$.

Paso 2: Usar la información dada $f(6) = -2$

Sabemos que: $f(6) = \log_a(6 - b) = -2$ Esto implica que: $\log_a(6 - b) = -2$ Usamos la definición del logaritmo para transformar esta ecuación: $a^{-2} = 6 - b$ Entonces, $6 - b = \frac{1}{a^2}$, de donde obtenemos: $b = 6 - \frac{1}{a^2}$

Paso 3: Determinar las restricciones del dominio

Dado que el dominio de la función es $(2, \infty)$, debemos tener $x - b > 0$, lo cual implica: $x > b$ Esto nos da que $b$ debe ser menor que 2 para que el dominio de la función sea $(2, \infty)$.

Paso 4: Solución de $a$ y $b$

Usamos la relación que encontramos en el paso 2: $b = 6 - \frac{1}{a^2}$ y el hecho de que $b < 2$. Esto significa: $6 - \frac{1}{a^2} < 2$ Lo que nos lleva a la siguiente desigualdad: $\frac{1}{a^2} > 4$ De aquí, se obtiene: $a^2 < \frac{1}{4}$ Por lo tanto: $a < \frac{1}{2}$ Dado que $a > 0$ porque la base de un logaritmo debe ser positiva, llegamos a la conclusión de que $0 < a < \frac{1}{2}$.

Paso 5: Determinación de la inversa de la función

Queremos hallar la función inversa $f^{-1}(y)$. Partimos de: $y = \log_a(x - b)$ Resolvemos para $x$ en términos de $y$: $a^y = x - b$ $x = a^y + b$ Por lo tanto, la función inversa es: $f^{-1}(y) = a^y + b$ El dominio de $f^{-1}(y)$ es $(-\infty, \infty)$, ya que el logaritmo está definido para cualquier valor real de $y$. La imagen de la inversa es $(2, \infty)$, que es el dominio original de $f(x)$.

Resumen de los resultados:

• Valores de $a$ y $b$: $0 < a < \frac{1}{2}$ y $b = 6 - \frac{1}{a^2}$, con $b < 2$.
• Función inversa: $f^{-1}(y) = a^y + b$.
• Dominio de la inversa: $(-\infty, \infty)$.
• Imagen de la inversa: $(2, \infty)$.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna duda?

Preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se puede calcular el valor exacto de $a$ sabiendo otras restricciones?
2. ¿Qué ocurre si $a$ es mayor que $\frac{1}{2}$?
3. ¿Cómo afectaría un cambio en el dominio de la función $f(x)$?
4. ¿Cómo resolverías la inversa si se dieran diferentes valores de $f(6)$?
5. ¿Qué implicaría un cambio en la base $a$ sobre la forma de la función logarítmica?

Tip: La función inversa invierte el rol de las entradas y las salidas, por lo que su dominio es la imagen de la función original y viceversa.