https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/172646503374047mct9yk.jpg

L'exercice demande de déterminer le domaine de définition (Df) des équations logarithmiques, puis de les résoudre dans \(\mathbb{R}\).

### 1. \( 2\ln(x) = \ln(2x-1) \)
#### Domaine de définition :
Pour que l'expression soit définie, on a deux conditions :
- \( x > 0 \) (car \(\ln(x)\) est défini pour \( x > 0 \)),
- \( 2x - 1 > 0 \Rightarrow x > \frac{1}{2} \).

Donc, le domaine de définition est \( x > \frac{1}{2} \).

#### Résolution :
Réécrivons l'équation :
\[
2\ln(x) = \ln(2x-1)
\]
Utilisons la propriété \(\ln(a^2) = 2\ln(a)\) pour écrire :
\[
\ln(x^2) = \ln(2x-1)
\]
En retirant les logarithmes, nous obtenons :
\[
x^2 = 2x - 1
\]
\[
x^2 - 2x + 1 = 0
\]
\[
(x - 1)^2 = 0
\]
Ainsi, \( x = 1 \).

#### Vérification dans le domaine de définition :
\( x = 1 \) satisfait bien la condition \( x > \frac{1}{2} \).

La solution est donc \( x = 1 \).

---

### 2. \( \ln(2 + 5x) = \ln(x + 6) \)
#### Domaine de définition :
- \( 2 + 5x > 0 \Rightarrow x > -\frac{2}{5} \),
- \( x + 6 > 0 \Rightarrow x > -6 \).

Le domaine de définition est donc \( x > -\frac{2}{5} \), car c'est la condition la plus restrictive.

#### Résolution :
\[
\ln(2 + 5x) = \ln(x + 6)
\]
En retirant les logarithmes :
\[
2 + 5x = x + 6
\]
\[
5x - x = 6 - 2
\]
\[
4x = 4
\]
\[
x = 1
\]

#### Vérification dans le domaine de définition :
\( x = 1 \) satisfait \( x > -\frac{2}{5} \).

La solution est donc \( x = 1 \).

---

### 3. \( \ln(x - 1) = \ln(2x - 1) \)
#### Domaine de définition :
- \( x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1 \),
- \( 2x - 1 > 0 \Rightarrow x > \frac{1}{2} \).

Le domaine de définition est donc \( x > 1 \).

#### Résolution :
\[
\ln(x - 1) = \ln(2x - 1)
\]
En retirant les logarithmes :
\[
x - 1 = 2x - 1
\]
\[
x - 2x = 0
\]
\[
x = 0
\]

#### Vérification dans le domaine de définition :
\( x = 0 \) ne satisfait pas \( x > 1 \).

Il n'y a donc **pas de solution** pour cette équation.

---

### 4. \( \ln(x - 1) + \ln(x - 3) = \ln(3) \)
#### Domaine de définition :
- \( x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1 \),
- \( x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3 \).

Le domaine de définition est donc \( x > 3 \).

#### Résolution :
En utilisant la propriété \(\ln(a) + \ln(b) = \ln(ab)\), l'équation devient :
\[
\ln((x - 1)(x - 3)) = \ln(3)
\]
En retirant les logarithmes :
\[
(x - 1)(x - 3) = 3
\]
Développons :
\[
x^2 - 4x + 3 = 3
\]
\[
x^2 - 4x = 0
\

Exercice n°3: Précisez le Df puis Résoudre dans R.

Solve logarithmic equations and find the domain of definition. This exercise focuses on applying logarithmic properties and solving for x in real numbers. Suitable for high school students learning logarithmic functions and equation solving.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation