Buat satu soal dengan menggunakan sifat-sifat logaritma beserta penyelesaian

**Soal:**
Selesaikan persamaan logaritma berikut dengan menggunakan sifat-sifat logaritma:

\[
\log_3 (x^2 - 4) - \log_3 (x - 2) = 1
\]

**Penyelesaian:**

Langkah 1: Gunakan sifat pengurangan logaritma.
Sifat pengurangan logaritma menyatakan bahwa:

\[
\log_a b - \log_a c = \log_a \left( \frac{b}{c} \right)
\]

Maka, kita terapkan sifat ini pada persamaan:

\[
\log_3 \left( \frac{x^2 - 4}{x - 2} \right) = 1
\]

Langkah 2: Hilangkan logaritma.
Sifat dasar logaritma menyatakan bahwa jika \(\log_a b = c\), maka \(b = a^c\). Dalam kasus ini, kita mempunyai \(\log_3 \left( \frac{x^2 - 4}{x - 2} \right) = 1\), yang berarti:

\[
\frac{x^2 - 4}{x - 2} = 3^1
\]

\[
\frac{x^2 - 4}{x - 2} = 3
\]

Langkah 3: Sederhanakan pecahan.
Perhatikan bahwa \(x^2 - 4\) adalah bentuk selisih kuadrat, yang dapat difaktorkan:

\[
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
\]

Maka, persamaannya menjadi:

\[
\frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = 3
\]

Selanjutnya, kita dapat membatalkan \((x - 2)\) dari pembilang dan penyebut (dengan syarat \(x \neq 2\)):

\[
x + 2 = 3
\]

Langkah 4: Selesaikan untuk \(x\).

\[
x + 2 = 3
\]

\[
x = 3 - 2
\]

\[
x = 1
\]

Langkah 5: Verifikasi solusi.
Kita harus memeriksa apakah solusi \(x = 1\) memenuhi syarat dari logaritma awal. Nilai \(x\) harus membuat semua bagian dalam logaritma positif.

Untuk \(\log_3 (x^2 - 4)\), jika \(x = 1\):

\[
1^2 - 4 = -3
\]

Karena

Learn how to solve a logarithmic equation using properties of logarithms. The problem involves simplifying logarithmic expressions and solving for x in the equation log_3 (x^2 - 4) - log_3 (x - 2) = 1. Suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation