Soal: Selesaikan persamaan logaritma berikut dengan menggunakan sifat-sifat logaritma:

$\log_3 (x^2 - 4) - \log_3 (x - 2) = 1$

Penyelesaian:

Langkah 1: Gunakan sifat pengurangan logaritma. Sifat pengurangan logaritma menyatakan bahwa:

$\log_a b - \log_a c = \log_a \left( \frac{b}{c} \right)$

Maka, kita terapkan sifat ini pada persamaan:

$\log_3 \left( \frac{x^2 - 4}{x - 2} \right) = 1$

Langkah 2: Hilangkan logaritma. Sifat dasar logaritma menyatakan bahwa jika $\log_a b = c$, maka $b = a^c$. Dalam kasus ini, kita mempunyai $\log_3 \left( \frac{x^2 - 4}{x - 2} \right) = 1$, yang berarti:

$\frac{x^2 - 4}{x - 2} = 3^1$

$\frac{x^2 - 4}{x - 2} = 3$

Langkah 3: Sederhanakan pecahan. Perhatikan bahwa $x^2 - 4$ adalah bentuk selisih kuadrat, yang dapat difaktorkan:

$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$

Maka, persamaannya menjadi:

$\frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = 3$

Selanjutnya, kita dapat membatalkan $(x - 2)$ dari pembilang dan penyebut (dengan syarat $x \neq 2$):

$x + 2 = 3$

Langkah 4: Selesaikan untuk $x$.

$x + 2 = 3$

$x = 3 - 2$

$x = 1$

Langkah 5: Verifikasi solusi. Kita harus memeriksa apakah solusi $x = 1$ memenuhi syarat dari logaritma awal. Nilai $x$ harus membuat semua bagian dalam logaritma positif.

Untuk $\log_3 (x^2 - 4)$, jika $x = 1$:

$1^2 - 4 = -3$

Karena