För att bestämma eventuella lokala maximi- och minimipunkter för funktionen $f(x) = x + \frac{1}{x-1} + 2$, måste vi undersöka funktionen med hjälp av dess första och andra derivata.

Steg 1: Bestäm första derivatan

Funktionen är: $f(x) = x + \frac{1}{x-1} + 2$ Den första derivatan beräknas genom att derivera varje term: $f'(x) = 1 - \frac{1}{(x-1)^2}$

Steg 2: Sätt $f'(x) = 0$

Vi löser: $1 - \frac{1}{(x-1)^2} = 0$ $\frac{1}{(x-1)^2} = 1$ $(x-1)^2 = 1$ $x-1 = \pm 1$ $x = 2 \quad \text{eller} \quad x = 0$

Vi har två kritiska punkter: $x = 2$ och $x = 0$.

Steg 3: Undersök om det är maximi- eller minimipunkter

För att avgöra naturen hos de kritiska punkterna använder vi antingen den andra derivatan eller teckenväxling av $f'(x)$.

Beräkna andra derivatan:

$f'(x) = 1 - \frac{1}{(x-1)^2}$ Derivera igen: $f''(x) = \frac{2}{(x-1)^3}$

Kontrollera varje kritisk punkt:

1. För $x = 2$: $f''(2) = \frac{2}{(2-1)^3} = \frac{2}{1} = 2 > 0$ Eftersom $f''(2) > 0$, är $x = 2$ en lokal minimipunkt.

2. För $x = 0$: $f''(0) = \frac{2}{(0-1)^3} = \frac{2}{-1} = -2 < 0$ Eftersom $f''(0) < 0$, är $x = 0$ en lokal maximipunkt.

Steg 4: Sammanfattning

De lokala extrempunkterna är:

• Lokal minimipunkt vid $x = 2$, med värdet: $f(2) = 2 + \frac{1}{2-1} + 2 = 2 + 1 + 2 = 5$

• Lokal maximipunkt vid $x = 0$, med värdet: $f(0) = 0 + \frac{1}{0-1} + 2 = 0 - 1 + 2 = 1$

Svar:

• Lokal minimum: $(2, 5)$
• Lokal maximum: $(0, 1)$

Vill du ha fler detaljer eller en grafisk representation av funktionen?

Relaterade frågor:

1. Hur påverkas extrempunkterna om man lägger till en konstant i funktionen?
2. Vad händer med funktionen nära asymptoterna (t.ex. vid $x = 1$)?
3. Kan vi hitta globala extrema på ett givet intervall för $f(x)$?
4. Hur analyserar man konkavitet i områden runt $x = 2$ och $x = 0$?
5. Vad innebär asymptotbeteende för funktionen $f(x)$?

Tips:

När du löser optimeringsproblem, kom ihåg att undersöka andra derivatan eller teckenväxling i första derivatan för att säkerställa typen av extrempunkt!