Para encontrar el menor valor de $B$ y el mayor valor de $A$ en la expresión

$f(x) = \frac{2x+1}{x^2 + x + 1}$

debemos analizar el comportamiento de esta función para todos los valores de $x \in \mathbb{R}$. Esto implica estudiar sus valores máximos y mínimos.

Paso 1: Derivada de la función

Para encontrar los valores críticos, calculamos la derivada de $f(x)$ y la igualamos a cero.

Usamos la regla del cociente:

$f(x) = \frac{2x+1}{x^2 + x + 1}$

La derivada $f'(x)$ es:

$f'(x) = \frac{(2)(x^2 + x + 1) - (2x+1)(2x+1)}{(x^2 + x + 1)^2}$

Paso 2: Resolver $f'(x) = 0$

Simplificamos y resolvemos esta ecuación para encontrar los valores críticos de $x$, y luego evaluamos estos valores en la función para encontrar los extremos absolutos.

Paso 3: Comportamiento en el infinito

Analizamos el comportamiento de $f(x)$ cuando $x \to \infty$ y $x \to -\infty$, lo cual puede ayudarnos a entender si existe algún límite superior o inferior.

Con estos pasos, podemos determinar el mayor valor de $A$ y el menor valor de $B$ para la función $f(x)$.

¿Deseas que continúe con el desarrollo paso a paso de la derivada o tienes alguna pregunta adicional?

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Preguntas relacionadas:

1. ¿Qué propiedades de funciones racionales son útiles para encontrar valores máximos y mínimos?
2. ¿Cómo afecta el comportamiento en el infinito a los valores extremos de una función?
3. ¿Qué técnicas pueden simplificar el cálculo de derivadas de cocientes complejos?
4. ¿En qué casos una función racional no tiene valores máximos ni mínimos en $\mathbb{R}$?
5. ¿Qué papel juegan los valores críticos en el análisis de funciones?

Tip:

Cuando trabajes con funciones racionales, es útil verificar primero si la función tiene asíntotas horizontales o verticales, ya que esto puede dar indicaciones importantes sobre su comportamiento en extremos.