Pour linéariser le nombre complexe $\cos^3(x)$, nous utilisons les identités trigonométriques et la formule d'exponentiation trigonométrique. Voici les étapes détaillées :

Étape 1 : Utiliser la formule de puissance de cosinus

On commence par exprimer $\cos^3(x)$ comme une combinaison de puissances inférieures. En utilisant l'identité :

$\cos^3(x) = \frac{3\cos(x) + \cos(3x)}{4},$

on obtient une première expression linéarisée.

Étape 2 : Justification par les identités trigonométriques

Cette formule provient de la réduction des termes grâce aux relations entre les cosinus multiples. Voici un aperçu rapide :

1. On part de la formule de l'angle triple pour le cosinus : $\cos(3x) = 4\cos^3(x) - 3\cos(x).$
2. En isolant $\cos^3(x)$, on trouve : $\cos^3(x) = \frac{\cos(3x) + 3\cos(x)}{4}.$

Résultat final

La forme linéarisée de $\cos^3(x)$ est donc : $\cos^3(x) = \frac{3\cos(x) + \cos(3x)}{4}.$

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Questions supplémentaires :

1. Voulez-vous une démonstration plus détaillée de la relation $\cos(3x)$ ?
2. Avez-vous besoin d’une généralisation pour d’autres puissances de $\cos(x)$ ?
3. Voulez-vous la linéarisation pour $\sin^3(x)$ également ?
4. Souhaitez-vous voir comment cela s’intègre dans une application complexe ?
5. Avez-vous besoin d’exemples pour mieux comprendre cette formule ?

Un conseil :

Lorsque vous travaillez avec des expressions trigonométriques, les formules des angles multiples sont souvent clés pour simplifier ou linéariser les puissances.